Страница 36 номер 147, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите двойное неравенство: а) \(-4 < \frac{-6x - 5}{3} \le 10\); б) \(-14 < 6 - x < 18\).
а) Умножаем на положительное число 3 — знаки сохраняются, делим на отрицательное число \(-6\) — оба знака меняются на противоположные: \[\begin{aligned} -4 &< \frac{-6x - 5}{3} \leqslant 10; \qquad | \cdot 3 \\ -12 &< -6x - 5 \leqslant 30; \qquad | +5 \\ -7 &< -6x \leqslant 35; \qquad | : (-6) \\ \frac{7}{6} &> x \geqslant -\frac{35}{6}; \\ -\frac{35}{6} &\leqslant x < \frac{7}{6}. \end{aligned}\] Строгий знак \(<\) стал строгим знаком \(>\), нестрогий \(\leqslant\) — нестрогим \(\geqslant\), поэтому число \(-\frac{35}{6}\) входит в множество решений, а число \(\frac{7}{6}\) — нет. Множество решений — полуинтервал \(\left[-\frac{35}{6}; \frac{7}{6}\right)\).
б) Умножаем на отрицательное число \(-1\) — оба знака меняются на противоположные: \[\begin{aligned} -14 &< 6 - x < 18; \qquad | -6 \\ -20 &< -x < 12; \qquad | \cdot (-1) \\ 20 &> x > -12; \\ -12 &< x < 20. \end{aligned}\] Множество решений — интервал \((-12; 20)\).
Ответ: а) \(\left[-\frac{35}{6}; \frac{7}{6}\right)\); б) \((-12; 20)\).
Решите двойное неравенство: а) \(-4 < \frac{-6x - 5}{3} \le 10\); б) \(-14 < 6 - x < 18\).
Выполним одни и те же действия над всеми частями двойного неравенства.
а) Умножим все части на положительное число 3 и прибавим к ним 5, затем разделим все части на отрицательное число \(-6\): \[\begin{aligned} -4 &< \frac{-6x - 5}{3} \leqslant 10; \qquad | \cdot 3 \\ -12 &< -6x - 5 \leqslant 30; \qquad | +5 \\ -7 &< -6x \leqslant 35; \qquad | : (-6) \\ \frac{7}{6} &> x \geqslant -\frac{35}{6}; \\ -\frac{35}{6} &\leqslant x < \frac{7}{6}. \end{aligned}\] При делении всех частей на отрицательное число \(-6\) оба знака поменяли на противоположные: строгий знак \(<\) стал строгим знаком \(>\), нестрогий знак \(\leqslant\) — нестрогим знаком \(\geqslant\); затем записали двойное неравенство в порядке возрастания. Значит, число \(-\frac{35}{6}\) входит в множество решений, а число \(\frac{7}{6}\) — нет. Множеством решений является полуинтервал \(\left[-\frac{35}{6}; \frac{7}{6}\right)\).
б) Вычтем из всех частей 6, затем умножим все части на отрицательное число \(-1\), поменяв оба знака неравенства на противоположные: \[\begin{aligned} -14 &< 6 - x < 18; \qquad | -6 \\ -20 &< -x < 12; \qquad | \cdot (-1) \\ 20 &> x > -12; \\ -12 &< x < 20. \end{aligned}\] Множеством решений является интервал \((-12; 20)\).
Ответ: а) \(\left[-\frac{35}{6}; \frac{7}{6}\right)\); б) \((-12; 20)\).
