Страница 36 номер 145, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств \[\begin{cases}2x + 7 \le 21,\\ 3x + 5 > 14\end{cases}\] и укажите все целые числа, которые являются её решениями.
Делим на положительные числа 2 и 3, знаки сохраняются: \[\begin{aligned} 2x + 7 &\leqslant 21; \\ 2x &\leqslant 14; \qquad | : 2 \\ x &\leqslant 7. \\ 3x + 5 &> 14; \\ 3x &> 9; \qquad | : 3 \\ x &> 3. \end{aligned}\]
Решения системы — пересечение промежутков: \(3 < x \leqslant 7\); число 3 не входит (неравенство \(x > 3\) строгое), число 7 входит (неравенство \(x \leqslant 7\) нестрогое). Значит, это полуинтервал \((3; 7]\).
Целые числа полуинтервала \((3; 7]\) — большие 3 и не большие 7: 4, 5, 6 и 7.
Ответ: \((3; 7]\); целые решения: 4, 5, 6, 7.
Решите систему неравенств \[\begin{cases}2x + 7 \le 21,\\ 3x + 5 > 14\end{cases}\] и укажите все целые числа, которые являются её решениями.
Решим первое неравенство: перенесём слагаемое 7 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 2: \[\begin{aligned} 2x + 7 &\leqslant 21; \\ 2x &\leqslant 14; \qquad | : 2 \\ x &\leqslant 7. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: перенесём слагаемое 5 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 3: \[\begin{aligned} 3x + 5 &> 14; \\ 3x &> 9; \qquad | : 3 \\ x &> 3. \end{aligned}\] Изобразим промежутки \((-\infty; 7]\) и \((3; +\infty)\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(3 < x \leqslant 7\). Левый конец — число 3 из второго неравенства; неравенство \(x > 3\) строгое, поэтому число 3 в множество решений не входит. Правый конец — число 7 из первого неравенства; неравенство \(x \leqslant 7\) нестрогое, поэтому число 7 входит. Значит, множеством решений системы является полуинтервал \((3; 7]\).
Целые числа, принадлежащие полуинтервалу \((3; 7]\), — это целые числа, большие 3 и не большие 7: 4, 5, 6 и 7.
Ответ: \((3; 7]\); целые решения: 4, 5, 6, 7.
