Страница 36 номер 143, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите двойное неравенство: а) \(-4 < 3x - 10 < 5\); б) \(-4 < \frac{2x - 1}{5} < 0\); в) \(-4 \le \frac{7 - a}{4} \le 8\).
а) Делим на положительное число 3, знаки сохраняются: \[\begin{aligned} -4 &< 3x - 10 < 5; \qquad | +10 \\ 6 &< 3x < 15; \qquad | : 3 \\ 2 &< x < 5. \end{aligned}\] Множество решений — интервал \((2; 5)\).
б) Умножаем на 5 и делим на 2 — числа положительные, знаки сохраняются: \[\begin{aligned} -4 &< \frac{2x - 1}{5} < 0; \qquad | \cdot 5 \\ -20 &< 2x - 1 < 0; \qquad | +1 \\ -19 &< 2x < 1; \qquad | : 2 \\ -9{,}5 &< x < 0{,}5. \end{aligned}\] Множество решений — интервал \((-9{,}5; 0{,}5)\).
в) Умножаем на положительное число 4 — знаки сохраняются, затем на отрицательное число \(-1\) — оба знака меняются на противоположные: \[\begin{aligned} -4 &\leqslant \frac{7 - a}{4} \leqslant 8; \qquad | \cdot 4 \\ -16 &\leqslant 7 - a \leqslant 32; \qquad | -7 \\ -23 &\leqslant -a \leqslant 25; \qquad | \cdot (-1) \\ 23 &\geqslant a \geqslant -25; \\ -25 &\leqslant a \leqslant 23. \end{aligned}\] Множество решений — отрезок \([-25; 23]\).
Ответ: а) \((2; 5)\); б) \((-9{,}5; 0{,}5)\); в) \([-25; 23]\).
Решите двойное неравенство: а) \(-4 < 3x - 10 < 5\); б) \(-4 < \frac{2x - 1}{5} < 0\); в) \(-4 \le \frac{7 - a}{4} \le 8\).
Выполним одни и те же действия над всеми частями двойного неравенства.
а) Прибавим ко всем частям 10, затем разделим все части на положительное число 3 — знаки неравенства сохраняются: \[\begin{aligned} -4 &< 3x - 10 < 5; \qquad | +10 \\ 6 &< 3x < 15; \qquad | : 3 \\ 2 &< x < 5. \end{aligned}\] Множеством решений является интервал \((2; 5)\).
б) Умножим все части на положительное число 5, прибавим к ним 1 и разделим все части на положительное число 2 — знаки неравенства сохраняются: \[\begin{aligned} -4 &< \frac{2x - 1}{5} < 0; \qquad | \cdot 5 \\ -20 &< 2x - 1 < 0; \qquad | +1 \\ -19 &< 2x < 1; \qquad | : 2 \\ -9{,}5 &< x < 0{,}5. \end{aligned}\] Множеством решений является интервал \((-9{,}5; 0{,}5)\).
в) Умножим все части на положительное число 4, вычтем из них 7, затем умножим все части на отрицательное число \(-1\): \[\begin{aligned} -4 &\leqslant \frac{7 - a}{4} \leqslant 8; \qquad | \cdot 4 \\ -16 &\leqslant 7 - a \leqslant 32; \qquad | -7 \\ -23 &\leqslant -a \leqslant 25; \qquad | \cdot (-1) \\ 23 &\geqslant a \geqslant -25; \\ -25 &\leqslant a \leqslant 23. \end{aligned}\] При умножении всех частей на отрицательное число \(-1\) оба знака неравенства поменяли на противоположные, а затем записали двойное неравенство в порядке возрастания. Множеством решений является отрезок \([-25; 23]\).
Ответ: а) \((2; 5)\); б) \((-9{,}5; 0{,}5)\); в) \([-25; 23]\).
