Страница 36 номер 142, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}7x - 6 > 8,\\ x + 5 < 10;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}1 + \frac{x}{7} < 5,\\ \frac{x}{12} + \frac{x}{2} \le -7;\end{cases}\) в) \(\begin{cases}8x - 1 \ge 10 - 3x,\\ 10x + 5{,}8 \le 9x + 14.\end{cases}\)
а) Первое неравенство делим на положительное число 7, знак сохраняется: \[\begin{aligned} 7x - 6 &> 8; \\ 7x &> 14; \qquad | : 7 \\ x &> 2. \\ x + 5 &< 10; \\ x &< 5. \end{aligned}\]
Решения системы — пересечение промежутков: \(2 < x < 5\); оба неравенства строгие, поэтому числа 2 и 5 не входят. Значит, это интервал \((2; 5)\).
б) Умножаем на положительное число 7, знак сохраняется: \[\begin{aligned} 1 + \frac{x}{7} &< 5; \\ \frac{x}{7} &< 4; \qquad | \cdot 7 \\ x &< 28. \end{aligned}\] Умножаем на 12 и делим на 7 — числа положительные, знак сохраняется: \[\begin{aligned} \frac{x}{12} + \frac{x}{2} &\leqslant -7; \qquad | \cdot 12 \\ x + 6x &\leqslant -84; \\ 7x &\leqslant -84; \qquad | : 7 \\ x &\leqslant -12. \end{aligned}\]
Решения системы — пересечение лучей \((-\infty; 28)\) и \((-\infty; -12]\). Если \(x \leqslant -12\) и \(-12 < 28\), то \(x < 28\): луч \((-\infty; -12]\) целиком содержится в луче \((-\infty; 28)\). Значит, пересечение — луч \((-\infty; -12]\); число \(-12\) входит (неравенство \(x \leqslant -12\) нестрогое).
в) Первое неравенство делим на положительное число 11, знак сохраняется: \[\begin{aligned} 8x - 1 &\geqslant 10 - 3x; \\ 8x + 3x &\geqslant 10 + 1; \\ 11x &\geqslant 11; \qquad | : 11 \\ x &\geqslant 1. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 10x + 5{,}8 &\leqslant 9x + 14; \\ 10x - 9x &\leqslant 14 - 5{,}8; \\ x &\leqslant 8{,}2. \end{aligned}\]
Решения системы — пересечение промежутков: \(1 \leqslant x \leqslant 8{,}2\); оба неравенства нестрогие, поэтому числа 1 и \(8{,}2\) входят. Значит, это отрезок \([1; 8{,}2]\).
Ответ: а) \((2; 5)\); б) \((-\infty; -12]\); в) \([1; 8{,}2]\).
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}7x - 6 > 8,\\ x + 5 < 10;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}1 + \frac{x}{7} < 5,\\ \frac{x}{12} + \frac{x}{2} \le -7;\end{cases}\) в) \(\begin{cases}8x - 1 \ge 10 - 3x,\\ 10x + 5{,}8 \le 9x + 14.\end{cases}\)
а) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое \(-6\) в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 7: \[\begin{aligned} 7x - 6 &> 8; \\ 7x &> 14; \qquad | : 7 \\ x &> 2. \end{aligned}\] Решим второе неравенство, перенеся слагаемое 5 в правую часть с противоположным знаком: \[\begin{aligned} x + 5 &< 10; \\ x &< 5. \end{aligned}\] Изобразим промежутки \((2; +\infty)\) и \((-\infty; 5)\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(2 < x < 5\). Оба неравенства строгие, поэтому ни число 2, ни число 5 в множество решений не входят. Значит, множеством решений системы является интервал \((2; 5)\).
б) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое 1 в правую часть с противоположным знаком и умножим обе части на положительное число 7: \[\begin{aligned} 1 + \frac{x}{7} &< 5; \\ \frac{x}{7} &< 4; \qquad | \cdot 7 \\ x &< 28. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: умножим обе его части на положительное число 12 — общий знаменатель дробей, затем разделим обе части на положительное число 7: \[\begin{aligned} \frac{x}{12} + \frac{x}{2} &\leqslant -7; \qquad | \cdot 12 \\ x + 6x &\leqslant -84; \\ 7x &\leqslant -84; \qquad | : 7 \\ x &\leqslant -12. \end{aligned}\] Изобразим промежутки \((-\infty; 28)\) и \((-\infty; -12]\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Оба луча направлены влево. Каждое число, не большее \(-12\), меньше 28: если \(x \leqslant -12\) и \(-12 < 28\), то \(x < 28\). Поэтому луч \((-\infty; -12]\) целиком содержится в луче \((-\infty; 28)\), а числа, большие \(-12\), не удовлетворяют второму неравенству. Значит, пересечение лучей — луч \((-\infty; -12]\); число \(-12\) в него входит, так как неравенство \(x \leqslant -12\) нестрогое. Множеством решений системы является луч \((-\infty; -12]\).
в) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое \(-3x\) в левую часть, а слагаемое \(-1\) — в правую, изменив их знаки на противоположные, и разделим обе части на положительное число 11: \[\begin{aligned} 8x - 1 &\geqslant 10 - 3x; \\ 8x + 3x &\geqslant 10 + 1; \\ 11x &\geqslant 11; \qquad | : 11 \\ x &\geqslant 1. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: перенесём слагаемое \(9x\) в левую часть, а слагаемое \(5{,}8\) — в правую, изменив их знаки на противоположные: \[\begin{aligned} 10x + 5{,}8 &\leqslant 9x + 14; \\ 10x - 9x &\leqslant 14 - 5{,}8; \\ x &\leqslant 8{,}2. \end{aligned}\] Изобразим промежутки \([1; +\infty)\) и \((-\infty; 8{,}2]\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(1 \leqslant x \leqslant 8{,}2\). Оба неравенства нестрогие, поэтому оба конца — число 1 из первого неравенства и число \(8{,}2\) из второго — входят в множество решений. Значит, множеством решений системы является отрезок \([1; 8{,}2]\).
Ответ: а) \((2; 5)\); б) \((-\infty; -12]\); в) \([1; 8{,}2]\).
