Страница 36 номер 139, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Решим первое неравенство: умножим обе его части на положительное число 6 — общий знаменатель дробей, затем разделим обе части на положительное число 2; знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} \frac{p}{2} - \frac{p}{6} &\leqslant 3; \qquad | \cdot 6 \\ 3p - p &\leqslant 18; \\ 2p &\leqslant 18; \qquad | : 2 \\ p &\leqslant 9. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: умножим обе его части на положительное число 2, перенесём слагаемое 4 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 11: \[\begin{aligned} 2p + \frac{7p + 4}{2} &> -9; \qquad | \cdot 2 \\ 4p + 7p + 4 &> -18; \\ 11p + 4 &> -18; \\ 11p &> -22; \qquad | : 11 \\ p &> -2. \end{aligned}\] Изобразим промежутки \((-\infty; 9]\) и \((-2; +\infty)\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:

Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(-2 < p \leqslant 9\). Левый конец — число \(-2\) из второго неравенства; неравенство \(p > -2\) строгое, поэтому число \(-2\) в множество решений не входит. Правый конец — число 9 из первого неравенства; неравенство \(p \leqslant 9\) нестрогое, поэтому число 9 входит. Значит, множеством решений системы является полуинтервал \((-2; 9]\).

б) Решим первое неравенство, умножив обе его части на положительное число 6: \[\begin{aligned} \frac{7a + 6}{6} - 5 &\geqslant a; \qquad | \cdot 6 \\ 7a + 6 - 30 &\geqslant 6a; \\ 7a - 6a &\geqslant 30 - 6; \\ a &\geqslant 24. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: умножим обе его части на положительное число 4, а в конце разделим обе части на положительное число 18. Перед дробью стоит знак «минус», поэтому после умножения её числитель записываем в скобках, а при раскрытии скобок оба члена числителя меняют знаки на противоположные: \[\begin{aligned} 2a - \frac{1 - 14a}{4} &\geqslant a; \qquad | \cdot 4 \\ 8a - (1 - 14a) &\geqslant 4a; \\ 8a - 1 + 14a &\geqslant 4a; \\ 8a + 14a - 4a &\geqslant 1; \\ 18a &\geqslant 1; \qquad | : 18 \\ a &\geqslant \frac{1}{18}. \end{aligned}\] Изобразим промежутки \([24; +\infty)\) и \(\left[\frac{1}{18}; +\infty\right)\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:

Оба луча направлены вправо. Число 24 больше \(\frac{1}{18}\), поэтому каждое число, не меньшее 24, больше \(\frac{1}{18}\) и удовлетворяет второму неравенству, а числа, меньшие 24, не удовлетворяют первому неравенству. Значит, пересечение лучей — луч \([24; +\infty)\); число 24 в него входит, так как неравенство \(a \geqslant 24\) нестрогое. Множеством решений системы является луч \([24; +\infty)\).

в) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое \(70{,}8\) в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число \(5{,}9\): \[\begin{aligned} 5{,}9x + 70{,}8 &> 0; \\ 5{,}9x &> -70{,}8; \qquad | : 5{,}9 \\ x &> -12. \end{aligned}\] Здесь \(70{,}8 : 5{,}9 = 708 : 59 = 12\) — в делимом и делителе переносим запятую на одну цифру вправо; проверка: \(59 \cdot 12 = 708\). Частное отрицательного и положительного чисел отрицательно, поэтому \(-70{,}8 : 5{,}9 = -12\).

Решим второе неравенство. Неравенство \(11{,}9 > 1{,}7x\) означает то же, что \(1{,}7x < 11{,}9\); разделим обе его части на положительное число \(1{,}7\): \[\begin{aligned} 1{,}7x &< 11{,}9; \qquad | : 1{,}7 \\ x &< 7. \end{aligned}\] Здесь \(11{,}9 : 1{,}7 = 119 : 17 = 7\) — переносим запятую на одну цифру вправо; проверка: \(17 \cdot 7 = 119\).

Изобразим промежутки \((-12; +\infty)\) и \((-\infty; 7)\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:

Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(-12 < x < 7\). Оба неравенства строгие, поэтому ни число \(-12\), ни число 7 в множество решений не входят. Значит, множеством решений системы является интервал \((-12; 7)\).

Ответ: а) \((-2; 9]\); б) \([24; +\infty)\); в) \((-12; 7)\).