Страница 36 номер 138, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}5x - 2 \ge -12,\\ x - 6 < 1;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x - 9 < 0,\\ x - 7 > 0.\end{cases}\)
а) Первое неравенство делим на положительное число 5, знак сохраняется: \[\begin{aligned} 5x - 2 &\geqslant -12; \\ 5x &\geqslant -10; \qquad | : 5 \\ x &\geqslant -2. \\ x - 6 &< 1; \\ x &< 7. \end{aligned}\]
Решения системы — пересечение промежутков: \(-2 \leqslant x < 7\); число \(-2\) входит (неравенство \(x \geqslant -2\) нестрогое), число 7 не входит (неравенство \(x < 7\) строгое). Значит, это полуинтервал \([-2; 7)\).
б) \[\begin{aligned} x - 9 &< 0; \\ x &< 9. \\ x - 7 &> 0; \\ x &> 7. \end{aligned}\]
Решения системы — пересечение промежутков: \(7 < x < 9\); оба неравенства строгие, поэтому числа 7 и 9 не входят. Значит, это интервал \((7; 9)\).
Ответ: а) \([-2; 7)\); б) \((7; 9)\).
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}5x - 2 \ge -12,\\ x - 6 < 1;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x - 9 < 0,\\ x - 7 > 0.\end{cases}\)
а) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое \(-2\) в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 5, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 5x - 2 &\geqslant -12; \\ 5x &\geqslant -10; \qquad | : 5 \\ x &\geqslant -2. \end{aligned}\] Решим второе неравенство, перенеся слагаемое \(-6\) в правую часть с противоположным знаком: \[\begin{aligned} x - 6 &< 1; \\ x &< 7. \end{aligned}\] Изобразим промежутки \([-2; +\infty)\) и \((-\infty; 7)\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(-2 \leqslant x < 7\). Левый конец — число \(-2\) из первого неравенства; неравенство \(x \geqslant -2\) нестрогое, поэтому число \(-2\) входит в множество решений. Правый конец — число 7 из второго неравенства; неравенство \(x < 7\) строгое, поэтому число 7 не входит. Значит, множеством решений системы является полуинтервал \([-2; 7)\).
б) Решим первое неравенство, перенеся слагаемое \(-9\) в правую часть с противоположным знаком: \[\begin{aligned} x - 9 &< 0; \\ x &< 9. \end{aligned}\] Решим второе неравенство, перенеся слагаемое \(-7\) в правую часть с противоположным знаком: \[\begin{aligned} x - 7 &> 0; \\ x &> 7. \end{aligned}\] Изобразим промежутки \((-\infty; 9)\) и \((7; +\infty)\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(7 < x < 9\). Оба неравенства строгие, поэтому ни число 7, ни число 9 в множество решений не входят. Значит, множеством решений системы является интервал \((7; 9)\).
Ответ: а) \([-2; 7)\); б) \((7; 9)\).
