Страница 30 номер 136, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(3 + 4|x| = 24 + 2|x|\); б) \(|x - 1| = -3\).
а) \[\begin{aligned} 3 + 4|x| &= 24 + 2|x|; \\ 4|x| - 2|x| &= 24 - 3; \\ 2|x| &= 21; \qquad | : 2 \\ |x| &= 10{,}5. \end{aligned}\]
\(x = 10{,}5\) или \(x = -10{,}5\) — модуль равен \(10{,}5\) только у чисел \(10{,}5\) и \(-10{,}5\).
Проверка: для обоих чисел левая часть равна \(3 + 4 \cdot 10{,}5 = 3 + 42 = 45\), а правая — \(24 + 2 \cdot 10{,}5 = 24 + 21 = 45\).
б) \(|x - 1| \geqslant 0\) при любом \(x\), а правая часть — отрицательное число \(-3\), значит, уравнение \(|x - 1| = -3\) корней не имеет.
Ответ: а) \(-10{,}5\); \(10{,}5\); б) корней нет.
Решите уравнение: а) \(3 + 4|x| = 24 + 2|x|\); б) \(|x - 1| = -3\).
а) Слагаемые, содержащие \(|x|\), перенесём в левую часть уравнения, а числа — в правую, изменив их знаки на противоположные; затем приведём подобные слагаемые и разделим обе части на 2:
\[\begin{aligned} 3 + 4|x| &= 24 + 2|x|; \\ 4|x| - 2|x| &= 24 - 3; \\ 2|x| &= 21; \qquad | : 2 \\ |x| &= 10{,}5. \end{aligned}\]
Модуль равен \(10{,}5\) только у двух чисел: \(10{,}5\) и \(-10{,}5\). Значит, \(x = 10{,}5\) или \(x = -10{,}5\).
Проверка: модуль каждого из чисел \(10{,}5\) и \(-10{,}5\) равен \(10{,}5\), поэтому для обоих чисел левая часть уравнения равна \(3 + 4 \cdot 10{,}5 = 3 + 42 = 45\), а правая — \(24 + 2 \cdot 10{,}5 = 24 + 21 = 45\).
б) Модуль любого числа неотрицателен, поэтому при любом значении \(x\) выполняется неравенство \(|x - 1| \geqslant 0\). Правая часть уравнения — отрицательное число \(-3\), а неотрицательное число не может быть равно отрицательному. Значит, уравнение \(|x - 1| = -3\) корней не имеет.
Ответ: а) \(-10{,}5\); \(10{,}5\); б) корней нет.
