Страница 28 номер 124, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
а) Умножим первое уравнение на 2, второе — на \(-3\): \[\begin{cases}-7x + 6y = 21, & | \cdot 2\\ -5x + 4y = 17; & | \cdot (-3)\end{cases}\] \[\begin{cases}-14x + 12y = 42,\\ 15x - 12y = -51.\end{cases}\] Сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} -14x + 12y + 15x - 12y &= 42 - 51; \\ x &= -9. \end{aligned}\]
Подставим \(x = -9\) во второе уравнение исходной системы: \[\begin{aligned} -5 \cdot (-9) + 4y &= 17; \\ 45 + 4y &= 17; \\ 4y &= 17 - 45; \\ 4y &= -28; \\ y &= -7. \end{aligned}\]
Проверка: \[\begin{aligned} -7 \cdot (-9) + 6 \cdot (-7) &= 63 - 42 = 21; \\ -5 \cdot (-9) + 4 \cdot (-7) &= 45 - 28 = 17. \end{aligned}\]
Оба уравнения обращаются в верные равенства; решение системы — пара чисел \((-9; -7)\).
б) Коэффициенты при \(y\) — противоположные числа 2 и \(-2\), поэтому сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} 8x + 2y - 4x - 2y &= -13 + 1; \\ 4x &= -12; \\ x &= -3. \end{aligned}\]
Подставим \(x = -3\) во второе уравнение: \[\begin{aligned} -4 \cdot (-3) - 2y &= 1; \\ 12 - 2y &= 1; \\ -2y &= 1 - 12; \\ -2y &= -11; \\ y &= 5{,}5. \end{aligned}\]
Проверка: \[\begin{aligned} 8 \cdot (-3) + 2 \cdot 5{,}5 &= -24 + 11 = -13; \\ -4 \cdot (-3) - 2 \cdot 5{,}5 &= 12 - 11 = 1. \end{aligned}\]
Оба уравнения обращаются в верные равенства; решение системы — пара чисел \((-3; 5{,}5)\).
в) Из первого уравнения \(x = -3 - 3y\); подставим это выражение вместо \(x\) во второе уравнение: \[\begin{aligned} 2(-3 - 3y) - 5y &= -28; \\ -6 - 6y - 5y &= -28; \\ -6y - 5y &= -28 + 6; \\ -11y &= -22; \\ y &= 2. \end{aligned}\]
Тогда \(x = -3 - 3 \cdot 2 = -9\).
Проверка: \[\begin{aligned} 3 \cdot 2 + (-9) &= 6 - 9 = -3; \\ 2 \cdot (-9) - 5 \cdot 2 &= -18 - 10 = -28. \end{aligned}\]
Оба уравнения обращаются в верные равенства; решение системы — пара чисел \((-9; 2)\).
г) Умножим первое уравнение на 5, второе — на \(-4\): \[\begin{cases}7y + 4x = 16, & | \cdot 5\\ 3y + 5x = -3; & | \cdot (-4)\end{cases}\] \[\begin{cases}35y + 20x = 80,\\ -12y - 20x = 12.\end{cases}\] Сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} 35y + 20x - 12y - 20x &= 80 + 12; \\ 23y &= 92; \\ y &= 4. \end{aligned}\]
Подставим \(y = 4\) в первое уравнение исходной системы: \[\begin{aligned} 7 \cdot 4 + 4x &= 16; \\ 28 + 4x &= 16; \\ 4x &= 16 - 28; \\ 4x &= -12; \\ x &= -3. \end{aligned}\]
Проверка: \[\begin{aligned} 7 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) &= 28 - 12 = 16; \\ 3 \cdot 4 + 5 \cdot (-3) &= 12 - 15 = -3. \end{aligned}\]
Оба уравнения обращаются в верные равенства; решение системы — пара чисел \((-3; 4)\).
Ответ: а) \((-9; -7)\); б) \((-3; 5{,}5)\); в) \((-9; 2)\); г) \((-3; 4)\).
а) Умножим обе части первого уравнения на 2, а обе части второго — на \(-3\), чтобы коэффициенты при \(y\) стали противоположными числами: \[\begin{cases}-7x + 6y = 21, & | \cdot 2\\ -5x + 4y = 17; & | \cdot (-3)\end{cases}\] \[\begin{cases}-14x + 12y = 42,\\ 15x - 12y = -51.\end{cases}\] Сложим почленно уравнения полученной системы: \[\begin{aligned} -14x + 12y + 15x - 12y &= 42 - 51; \\ x &= -9. \end{aligned}\] Подставим \(x = -9\) во второе уравнение исходной системы: \[\begin{aligned} -5 \cdot (-9) + 4y &= 17; \\ 45 + 4y &= 17; \\ 4y &= 17 - 45; \\ 4y &= -28; \\ y &= -7. \end{aligned}\] Проверка: \(-7 \cdot (-9) + 6 \cdot (-7) = 63 - 42 = 21\) и \(-5 \cdot (-9) + 4 \cdot (-7) = 45 - 28 = 17\) — оба уравнения обращаются в верные равенства. Решение системы — пара чисел \((-9; -7)\).
б) Коэффициенты при \(y\) в уравнениях системы — противоположные числа 2 и \(-2\), поэтому сложим почленно левые и правые части уравнений: \[\begin{aligned} 8x + 2y - 4x - 2y &= -13 + 1; \\ 4x &= -12; \\ x &= -3. \end{aligned}\] Подставим \(x = -3\) во второе уравнение системы: \[\begin{aligned} -4 \cdot (-3) - 2y &= 1; \\ 12 - 2y &= 1; \\ -2y &= 1 - 12; \\ -2y &= -11; \\ y &= 5{,}5. \end{aligned}\] Проверка: \(8 \cdot (-3) + 2 \cdot 5{,}5 = -24 + 11 = -13\) и \(-4 \cdot (-3) - 2 \cdot 5{,}5 = 12 - 11 = 1\) — оба уравнения обращаются в верные равенства. Решение системы — пара чисел \((-3; 5{,}5)\).
в) Выразим \(x\) из первого уравнения, перенеся слагаемое \(3y\) в правую часть с противоположным знаком: \(x = -3 - 3y\). Подставим это выражение вместо \(x\) во второе уравнение: \[\begin{aligned} 2(-3 - 3y) - 5y &= -28; \\ -6 - 6y - 5y &= -28; \\ -6y - 5y &= -28 + 6; \\ -11y &= -22; \\ y &= 2. \end{aligned}\] Тогда \(x = -3 - 3 \cdot 2 = -9\). Проверка: \(3 \cdot 2 + (-9) = 6 - 9 = -3\) и \(2 \cdot (-9) - 5 \cdot 2 = -18 - 10 = -28\) — оба уравнения обращаются в верные равенства. Решение системы — пара чисел \((-9; 2)\).
г) Умножим обе части первого уравнения на 5, а обе части второго — на \(-4\), чтобы коэффициенты при \(x\) стали противоположными числами: \[\begin{cases}7y + 4x = 16, & | \cdot 5\\ 3y + 5x = -3; & | \cdot (-4)\end{cases}\] \[\begin{cases}35y + 20x = 80,\\ -12y - 20x = 12.\end{cases}\] Сложим почленно уравнения полученной системы: \[\begin{aligned} 35y + 20x - 12y - 20x &= 80 + 12; \\ 23y &= 92; \\ y &= 4. \end{aligned}\] Подставим \(y = 4\) в первое уравнение исходной системы: \[\begin{aligned} 7 \cdot 4 + 4x &= 16; \\ 28 + 4x &= 16; \\ 4x &= 16 - 28; \\ 4x &= -12; \\ x &= -3. \end{aligned}\] Проверка: \(7 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 28 - 12 = 16\) и \(3 \cdot 4 + 5 \cdot (-3) = 12 - 15 = -3\) — оба уравнения обращаются в верные равенства. Решение системы — пара чисел \((-3; 4)\).
Ответ: а) \((-9; -7)\); б) \((-3; 5{,}5)\); в) \((-9; 2)\); г) \((-3; 4)\).
