Страница 28 номер 122, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
а) Коэффициенты при \(y\) — противоположные числа 2 и \(-2\), поэтому сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} 5x + 2y - 9x - 2y &= 19 - 23; \\ -4x &= -4; \\ x &= 1. \end{aligned}\]
Подставим \(x = 1\) в первое уравнение: \[\begin{aligned} 5 \cdot 1 + 2y &= 19; \\ 2y &= 19 - 5; \\ 2y &= 14; \\ y &= 7. \end{aligned}\]
Проверка: \[\begin{aligned} 5 \cdot 1 + 2 \cdot 7 &= 5 + 14 = 19; \\ -9 \cdot 1 - 2 \cdot 7 &= -9 - 14 = -23. \end{aligned}\]
Оба уравнения обращаются в верные равенства; решение системы — пара чисел \((1; 7)\).
б) Умножим первое уравнение на 5, второе — на \(-7\): \[\begin{cases}7x + 9y = 2, & | \cdot 5\\ 5x + 8y = 3; & | \cdot (-7)\end{cases}\] \[\begin{cases}35x + 45y = 10,\\ -35x - 56y = -21.\end{cases}\] Сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} 35x + 45y - 35x - 56y &= 10 - 21; \\ -11y &= -11; \\ y &= 1. \end{aligned}\]
Подставим \(y = 1\) в первое уравнение исходной системы: \[\begin{aligned} 7x + 9 \cdot 1 &= 2; \\ 7x &= 2 - 9; \\ 7x &= -7; \\ x &= -1. \end{aligned}\]
Проверка: \[\begin{aligned} 7 \cdot (-1) + 9 \cdot 1 &= -7 + 9 = 2; \\ 5 \cdot (-1) + 8 \cdot 1 &= -5 + 8 = 3. \end{aligned}\]
Оба уравнения обращаются в верные равенства; решение системы — пара чисел \((-1; 1)\).
в) Подставим \(2y\) вместо \(x\) во второе уравнение: \[\begin{aligned} 6y - 2y &= -8; \\ 4y &= -8; \\ y &= -2. \end{aligned}\]
Тогда \(x = 2 \cdot (-2) = -4\).
Проверка: \[\begin{aligned} -4 &= 2 \cdot (-2); \\ 6 \cdot (-2) - (-4) &= -12 + 4 = -8. \end{aligned}\]
Оба уравнения обращаются в верные равенства; решение системы — пара чисел \((-4; -2)\).
г) Умножим первое уравнение на \(-2\): \[\begin{cases}3x + 2y = 1, & | \cdot (-2)\\ 6x - 7y = -9;\end{cases}\] \[\begin{cases}-6x - 4y = -2,\\ 6x - 7y = -9.\end{cases}\] Сложим уравнения почленно: \[\begin{aligned} -6x - 4y + 6x - 7y &= -2 - 9; \\ -11y &= -11; \\ y &= 1. \end{aligned}\]
Подставим \(y = 1\) в первое уравнение исходной системы: \[\begin{aligned} 3x + 2 \cdot 1 &= 1; \\ 3x &= 1 - 2; \\ 3x &= -1; \\ x &= -\frac{1}{3}. \end{aligned}\]
Проверка: \[\begin{aligned} 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 \cdot 1 &= -1 + 2 = 1; \\ 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) - 7 \cdot 1 &= -2 - 7 = -9. \end{aligned}\]
Оба уравнения обращаются в верные равенства; решение системы — пара чисел \(\left(-\frac{1}{3}; 1\right)\).
Ответ: а) \((1; 7)\); б) \((-1; 1)\); в) \((-4; -2)\); г) \(\left(-\frac{1}{3}; 1\right)\).
а) Коэффициенты при \(y\) в уравнениях системы — противоположные числа 2 и \(-2\), поэтому решим систему способом сложения — сложим почленно левые и правые части уравнений: \[\begin{aligned} 5x + 2y - 9x - 2y &= 19 - 23; \\ -4x &= -4; \\ x &= 1. \end{aligned}\] Подставим \(x = 1\) в первое уравнение системы: \[\begin{aligned} 5 \cdot 1 + 2y &= 19; \\ 2y &= 19 - 5; \\ 2y &= 14; \\ y &= 7. \end{aligned}\] Проверка: \(5 \cdot 1 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19\) и \(-9 \cdot 1 - 2 \cdot 7 = -9 - 14 = -23\) — оба уравнения обращаются в верные равенства. Решение системы — пара чисел \((1; 7)\).
б) Умножим обе части первого уравнения на 5, а обе части второго — на \(-7\), чтобы коэффициенты при \(x\) стали противоположными числами: \[\begin{cases}7x + 9y = 2, & | \cdot 5\\ 5x + 8y = 3; & | \cdot (-7)\end{cases}\] \[\begin{cases}35x + 45y = 10,\\ -35x - 56y = -21.\end{cases}\] Сложим почленно уравнения полученной системы: \[\begin{aligned} 35x + 45y - 35x - 56y &= 10 - 21; \\ -11y &= -11; \\ y &= 1. \end{aligned}\] Подставим \(y = 1\) в первое уравнение исходной системы: \[\begin{aligned} 7x + 9 \cdot 1 &= 2; \\ 7x &= 2 - 9; \\ 7x &= -7; \\ x &= -1. \end{aligned}\] Проверка: \(7 \cdot (-1) + 9 \cdot 1 = -7 + 9 = 2\) и \(5 \cdot (-1) + 8 \cdot 1 = -5 + 8 = 3\) — оба уравнения обращаются в верные равенства. Решение системы — пара чисел \((-1; 1)\).
в) Первое уравнение выражает \(x\) через \(y\), поэтому решим систему способом подстановки — подставим во второе уравнение \(2y\) вместо \(x\): \[\begin{aligned} 6y - 2y &= -8; \\ 4y &= -8; \\ y &= -2. \end{aligned}\] Тогда \(x = 2 \cdot (-2) = -4\). Проверка: \(-4 = 2 \cdot (-2)\) и \(6 \cdot (-2) - (-4) = -12 + 4 = -8\) — оба уравнения обращаются в верные равенства. Решение системы — пара чисел \((-4; -2)\).
г) Умножим обе части первого уравнения на \(-2\), чтобы коэффициенты при \(x\) стали противоположными числами: \[\begin{cases}3x + 2y = 1, & | \cdot (-2)\\ 6x - 7y = -9;\end{cases}\] \[\begin{cases}-6x - 4y = -2,\\ 6x - 7y = -9.\end{cases}\] Сложим почленно уравнения полученной системы: \[\begin{aligned} -6x - 4y + 6x - 7y &= -2 - 9; \\ -11y &= -11; \\ y &= 1. \end{aligned}\] Подставим \(y = 1\) в первое уравнение исходной системы: \[\begin{aligned} 3x + 2 \cdot 1 &= 1; \\ 3x &= 1 - 2; \\ 3x &= -1; \\ x &= -\frac{1}{3}. \end{aligned}\] Проверка: \(3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1\) и \(6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) - 7 \cdot 1 = -2 - 7 = -9\) — оба уравнения обращаются в верные равенства. Решение системы — пара чисел \(\left(-\frac{1}{3}; 1\right)\).
Ответ: а) \((1; 7)\); б) \((-1; 1)\); в) \((-4; -2)\); г) \(\left(-\frac{1}{3}; 1\right)\).
