Страница 28 номер 112, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите, при каких значениях \(y\) значение дроби \(\frac{2y + 9}{5}\) не меньше значения дроби \(\frac{7y + 6}{10}\).
Значение первой дроби не меньше значения второй: \(\frac{2y + 9}{5} \geqslant \frac{7y + 6}{10}\).
Умножим обе части на положительное число 10, знак сохраняется: \(2(2y + 9) \geqslant 7y + 6\). \[\begin{aligned} 4y + 18 &\geqslant 7y + 6; \\ 4y - 7y &\geqslant 6 - 18; \\ -3y &\geqslant -12. \qquad | : (-3) \end{aligned}\]
Разделим обе части на отрицательное число \(-3\), знак меняется: \(y \leqslant 4\).
Ответ: \((-\infty; 4]\).
Найдите, при каких значениях \(y\) значение дроби \(\frac{2y + 9}{5}\) не меньше значения дроби \(\frac{7y + 6}{10}\).
Значение дроби \(\frac{2y + 9}{5}\) не меньше значения дроби \(\frac{7y + 6}{10}\) тогда и только тогда, когда выполняется неравенство \[\frac{2y + 9}{5} \geqslant \frac{7y + 6}{10}. \qquad | \cdot 10\] Избавимся от дробей, умножив обе части неравенства на положительное число 10 — общий знаменатель дробей; знак неравенства при этом сохраняется: \[2(2y + 9) \geqslant 7y + 6.\] Раскроем скобки, перенесём слагаемое \(7y\) в левую часть неравенства, а число 18 — в правую, изменив их знаки на противоположные, и приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} 4y + 18 &\geqslant 7y + 6; \\ 4y - 7y &\geqslant 6 - 18; \\ -3y &\geqslant -12. \qquad | : (-3) \end{aligned}\] Разделим обе части неравенства на отрицательное число \(-3\), не забыв поменять знак неравенства на противоположный: \[y \leqslant 4.\] Значит, значение первой дроби не меньше значения второй при всех значениях \(y\) из промежутка \((-\infty; 4]\).
Ответ: \((-\infty; 4]\).
