Страница 27 номер 104, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте графики, задаваемые левой и правой частями неравенства \(7x - 2 \le -2x + 7\), и решите это неравенство.
Левая часть задаёт функцию \(y = 7x - 2\), правая — функцию \(y = -2x + 7\).
Абсцисса точки пересечения графиков — корень уравнения \(7x - 2 = -2x + 7\): \[\begin{aligned} 7x + 2x &= 7 + 2; \\ 9x &= 9; \\ x &= 1. \end{aligned}\]
При \(x = 1\) значения обеих функций равны: \(7 \cdot 1 - 2 = 5\) и \(-2 \cdot 1 + 7 = 5\); графики пересекаются в точке \((1; 5)\).
При \(x = 0\) получаем \(y = 7 \cdot 0 - 2 = -2\) — график функции \(y = 7x - 2\) проходит через точки \((0; -2)\) и \((1; 5)\).
При \(x = 3\) получаем \(y = -2 \cdot 3 + 7 = 1\) — график функции \(y = -2x + 7\) проходит через точки \((1; 5)\) и \((3; 1)\).
Неравенство выполняется, когда точка графика функции \(y = 7x - 2\) лежит не выше точки графика функции \(y = -2x + 7\) с той же абсциссой. Левее точки пересечения \((1; 5)\) первый график лежит ниже второго, правее — выше, при \(x = 1\) точки совпадают; значит, неравенство выполняется при \(x \leqslant 1\).
Тот же результат получим переносом слагаемых: \(7x + 2x \leqslant 7 + 2\);
\(9x \leqslant 9\); разделим обе части на положительное число 9, знак сохраняется: \(x \leqslant 1\).
Ответ: \((-\infty; 1]\).
Постройте графики, задаваемые левой и правой частями неравенства \(7x - 2 \le -2x + 7\), и решите это неравенство.
Левая часть неравенства задаёт функцию \(y = 7x - 2\), правая — функцию \(y = -2x + 7\). Графики обеих функций — прямые, а прямая определяется двумя своими точками.
Найдём точку пересечения графиков. Её абсцисса — корень уравнения \(7x - 2 = -2x + 7\). Перенесём слагаемые с \(x\) в левую часть, числа — в правую, изменив их знаки на противоположные: \[\begin{aligned} 7x + 2x &= 7 + 2; \\ 9x &= 9; \\ x &= 1. \end{aligned}\] При \(x = 1\) значения обеих функций равны: \(7 \cdot 1 - 2 = 5\) и \(-2 \cdot 1 + 7 = 5\). Значит, графики пересекаются в точке \((1; 5)\); её возьмём для построения обеих прямых.
Для функции \(y = 7x - 2\) вторая точка: при \(x = 0\) получаем \(y = 7 \cdot 0 - 2 = -2\). Её график — прямая, проходящая через точки \((0; -2)\) и \((1; 5)\).
Для функции \(y = -2x + 7\) вторая точка: при \(x = 3\) получаем \(y = -2 \cdot 3 + 7 = 1\). Её график — прямая, проходящая через точки \((1; 5)\) и \((3; 1)\).
Построим оба графика.
Неравенство \(7x - 2 \leqslant -2x + 7\) выполняется при тех значениях \(x\), для которых точка графика функции \(y = 7x - 2\) лежит не выше точки графика функции \(y = -2x + 7\) с той же абсциссой. Левее точки пересечения \((1; 5)\) график функции \(y = 7x - 2\) лежит ниже графика функции \(y = -2x + 7\), правее — выше, а при \(x = 1\) точки графиков совпадают. Значит, неравенство выполняется при \(x \leqslant 1\).
Тот же результат получим, решив неравенство переносом слагаемых. Перенесём слагаемое \(-2x\) в левую часть неравенства, а число \(-2\) — в правую, изменив их знаки на противоположные: \[\begin{aligned} 7x + 2x &\leqslant 7 + 2; \\ 9x &\leqslant 9. \qquad | : 9 \end{aligned}\] Разделим обе части неравенства на положительное число 9, знак неравенства при этом сохраняется: \[x \leqslant 1.\] Значит, решениями неравенства являются все числа из промежутка \((-\infty; 1]\).
Ответ: \((-\infty; 1]\).
