Контрольные вопросы и задания на странице 73, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Множество действительных чисел \(\mathbb{R}\) состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Рациональным называется число, которое можно представить в виде дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое число, а \(n\) — натуральное. Натуральные числа 1, 2, 3, … используются при счёте; целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и нуль. Все целые числа рациональны: \(-3 = \frac{-3}{1}\), \(0 = \frac{0}{1}\). Рациональны также обыкновенные, смешанные и десятичные дроби: \(2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\), \(0{,}1 = \frac{1}{10}\). Рациональным может быть и значение выражения с корнем: \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2 = \frac{6}{5}\).

Иррациональным называется действительное число, не являющееся рациональным. Если натуральное число не является точным квадратом, то корень из него иррационален. Например, число \(\sqrt{2}\) иррационально: \(1^2 < 2 < 2^2\), а между последовательными натуральными числами 1 и 2 других натуральных чисел нет, поэтому 2 — не квадрат натурального числа. Иррациональны также число \(\pi\), сумма и разность рационального и иррационального чисел (например, \(3 - \sqrt{2}\)), произведение иррационального числа на рациональное число, отличное от нуля, и частное от деления одного из этих чисел на другое (например, \(7\sqrt{5}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\frac{11}{\sqrt{3}}\)).

Каждое натуральное число является целым, каждое целое — рациональным, каждое рациональное — действительным: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\). Каждое действительное число либо рационально, либо иррационально, и тем и другим одновременно быть не может.

Ответ: множество действительных чисел \(\mathbb{R}\) образуют рациональные числа (числа, которые можно представить в виде дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое, \(n\) — натуральное) и иррациональные числа (действительные числа, не являющиеся рациональными), причём \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\); например, числа \(-3\), \(0{,}1\) и \(\frac{7}{3}\) рациональны, а числа \(\sqrt{2}\), \(3 - \sqrt{2}\) и \(\pi\) иррациональны.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа \(a\) называют неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Его обозначают \(\sqrt{a}\); знак \(\sqrt{\ }\) называют радикалом, а число или выражение под ним — подкоренным выражением.

В определении два условия: значение корня неотрицательно, и его квадрат равен подкоренному числу. Значит, при \(a \geqslant 0\) верны соотношения \(\sqrt{a} \geqslant 0\) и \((\sqrt{a})^2 = a\). Такое число единственно: если \(0 \leqslant x < y\), то \(x^2 < y^2\), то есть квадраты различных неотрицательных чисел различны. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому при \(a < 0\) выражение \(\sqrt{a}\) не имеет смысла.

Примеры:

- \(\sqrt{49} = 7\), так как \(7 \geqslant 0\) и \(7^2 = 49\); число \(-7\) тоже даёт в квадрате 49, но арифметическим корнем из 49 не является, потому что оно отрицательно;
- \(\sqrt{0} = 0\), так как \(0 \geqslant 0\) и \(0^2 = 0\);
- \(\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}\) и \(\sqrt{0{,}09} = 0{,}3\), так как числа \(\frac{3}{4}\) и \(0{,}3\) положительны и \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\), \(0{,}3^2 = 0{,}09\);
- \(\sqrt{2}\) — положительное число, квадрат которого равен 2 (длина стороны квадрата площадью 2); оно находится между числами \(1{,}4\) и \(1{,}5\), так как \(1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2\);
- выражение \(\sqrt{-9}\) не имеет смысла: квадрат действительного числа не может равняться отрицательному числу \(-9\).

Ответ: арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа \(a\) называют неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\) (обозначение \(\sqrt{a}\)); например, \(\sqrt{49} = 7\), \(\sqrt{0} = 0\), \(\sqrt{0{,}09} = 0{,}3\), а выражение \(\sqrt{-9}\) не имеет смысла.

Каждое свойство верно только при своём условии:

- если \(a \geqslant 0\), то \(\sqrt{a} \geqslant 0\) и \((\sqrt{a})^2 = a\) (это следует из определения); например, \((\sqrt{13})^2 = 13\) и \((3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18\);
- при любом \(a\) верно равенство \(\sqrt{a^2} = |a|\); например, \(\sqrt{(-6)^2} = |-6| = 6\). Без модуля равенство верно только при \(a \geqslant 0\): отрицательное число \(-6\) не может быть значением арифметического корня. Отсюда при натуральном \(n\) получаем \(\sqrt{x^{2n}} = |x^n|\): например, \(\sqrt{x^6} = |x^3|\), а \(\sqrt{x^8} = x^4\), так как \(x^4 \geqslant 0\);
- если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), то \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\): корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из них; например, \(\sqrt{16 \cdot 49} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{49} = 4 \cdot 7 = 28\), а справа налево: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{100} = 10\);
- если \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\), то \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\); например, \(\sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}} = \frac{9}{2} = 4{,}5\), а справа налево: \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{36} = 6\);
- если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), то неравенство \(\sqrt{a} > \sqrt{b}\) верно тогда и только тогда, когда \(a > b\): из двух корней больше тот, у которого больше подкоренное число; например, \(\sqrt{50} > \sqrt{48}\), так как \(50 > 48\), и \(3 < \sqrt{11} < 4\), так как \(9 < 11 < 16\).

Условия существенны. Произведение \((-4) \cdot (-9) = 36\) положительно, и \(\sqrt{(-4) \cdot (-9)} = \sqrt{36} = 6\), но записать этот корень в виде произведения корней из \(-4\) и \(-9\) нельзя: корни из отрицательных чисел не определены. Если оба множителя неположительны, пользуются противоположными им числами: при \(a \leqslant 0\) и \(b \leqslant 0\) верно \(\sqrt{ab} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}\), например \(\sqrt{(-4) \cdot (-9)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6\).

Ответ: если \(a \geqslant 0\), то \(\sqrt{a} \geqslant 0\) и \((\sqrt{a})^2 = a\); при любом \(a\) верно \(\sqrt{a^2} = |a|\); если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), то \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\); если \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\), то \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\); если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), то \(\sqrt{a} > \sqrt{b}\) тогда и только тогда, когда \(a > b\); например, \(\sqrt{(-6)^2} = 6\), \(\sqrt{16 \cdot 49} = 28\), \(\sqrt{\frac{81}{4}} = 4{,}5\), \(\sqrt{50} > \sqrt{48}\).

Внести множитель под знак корня — значит записать произведение \(a\sqrt{b}\) в виде корня. Если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), то \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\): неотрицательное число \(a\) равно \(\sqrt{a^2}\), а произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из их произведения.

Пример: \(5\sqrt{3} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}\).

Отрицательный множитель под знак корня не вносят: значение корня неотрицательно, а произведение отрицательного числа на положительный корень отрицательно. Минус остаётся перед корнем, а под корень вносится число, противоположное множителю: \(-2\sqrt{7} = -\sqrt{2^2 \cdot 7} = -\sqrt{28}\). Число \(\sqrt{(-2)^2 \cdot 7} = \sqrt{28}\) положительно, поэтому оно не равно отрицательному числу \(-2\sqrt{7}\).

Буквенный множитель вносят так же, учитывая его знак: если \(x \geqslant 0\), то \(x\sqrt{5} = \sqrt{5x^2}\), а если \(x < 0\), то \(x\sqrt{5} = -(-x)\sqrt{5} = -\sqrt{5x^2}\).

Внесение множителя помогает сравнивать числа: \(5\sqrt{3} = \sqrt{75}\), а \(\sqrt{75} < \sqrt{77}\), так как \(75 < 77\); значит, \(5\sqrt{3} < \sqrt{77}\).

Ответ: внести неотрицательный множитель \(a\) под знак корня — значит записать \(a\sqrt{b}\) в виде \(\sqrt{a^2 b}\) (при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\)), например \(5\sqrt{3} = \sqrt{75}\); отрицательный множитель под корень не вносят — минус остаётся перед корнем: \(-2\sqrt{7} = -\sqrt{28}\).

Вынести множитель из-под знака корня — значит представить подкоренное выражение в виде произведения \(a^2 b\), где \(b \geqslant 0\), и воспользоваться равенством \(\sqrt{a^2 b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = |a|\sqrt{b}\); при \(a \geqslant 0\) оно принимает вид \(\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}\). Для этого подкоренное число раскладывают на множители так, чтобы один из них был квадратом.

Пример: \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).

Выносят наибольший возможный множитель: под корнем должно остаться натуральное число, которое не делится на квадрат никакого натурального числа, отличного от 1. Запись \(\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}\) верна, но преобразование не закончено: \(18 = 9 \cdot 2\), и \(2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). Нужный множитель удобно искать по разложению на простые множители: \(72 = 2^3 \cdot 3^2 = (2 \cdot 3)^2 \cdot 2\).

Так же выносят множитель из-под корня из десятичной дроби: \(\sqrt{0{,}75} = \sqrt{0{,}25 \cdot 3} = 0{,}5\sqrt{3}\). Буквенный множитель выносят с модулем: \(\sqrt{3x^2} = |x|\sqrt{3}\), и если, например, \(x < 0\), то \(\sqrt{3x^2} = -x\sqrt{3}\).

Вынесение множителя помогает упрощать выражения: \(\sqrt{50} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\).

Ответ: вынести множитель из-под знака корня — значит записать подкоренное выражение в виде \(a^2 b\) (\(b \geqslant 0\)) и воспользоваться равенством \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\) (при \(a \geqslant 0\) — равенством \(\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}\)); под корнем оставляют натуральное число, не делящееся на квадрат натурального числа, отличного от 1: например, \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).

Выражения \(\sqrt{7} - \sqrt{3}\) и \(\sqrt{7} + \sqrt{3}\) — разность и сумма одних и тех же чисел \(\sqrt{7}\) и \(\sqrt{3}\); такие выражения называют сопряжёнными. По формуле разности квадратов корни в их произведении исчезают: \[(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4.\]

Так же \((5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1\).

Произведение корней из положительных чисел равно корню из произведения, поэтому оно рационально, если произведение подкоренных чисел — квадрат рационального числа: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\).

Произведение двух выражений с корнями рационально не всегда: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}\) — иррациональное число, так как 6 не является точным квадратом (\(2^2 < 6 < 3^2\)).

Ответ: например, \((\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = 4\) (произведение сопряжённых выражений) и \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4\).

Избавиться от иррациональности в знаменателе — значит заменить дробь, в знаменателе которой содержатся квадратные корни, равной ей дробью, в знаменателе которой стоит целое число. Для этого числитель и знаменатель дроби умножают на одно и то же выражение, не равное нулю, — по основному свойству дроби её значение при этом не меняется.

Если знаменатель — корень \(\sqrt{b}\), где \(b > 0\) (или произведение числа на такой корень), числитель и знаменатель умножают на \(\sqrt{b}\): \(\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}\). Примеры: \[\begin{aligned} \frac{6}{\sqrt{3}} &= \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}; \\ \frac{5}{2\sqrt{10}} &= \frac{5\sqrt{10}}{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{20} = \frac{\sqrt{10}}{4}. \end{aligned}\]

Если знаменатель — сумма или разность двух слагаемых, содержащая корни, числитель и знаменатель умножают на сопряжённое выражение. Если коэффициенты и числа под корнями рациональны, то по формуле разности квадратов знаменатель становится рациональным числом, то есть корня в нём больше нет; дробное число в знаменателе делают целым, умножив числитель и знаменатель ещё на натуральное число. Примеры: \[\begin{aligned} \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} &= \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \sqrt{7} - \sqrt{3}; \\ \frac{1}{2 - \sqrt{5}} &= \frac{2 + \sqrt{5}}{(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{2 + \sqrt{5}}{4 - 5} = -2 - \sqrt{5}. \end{aligned}\] Сопряжённые множители \(\sqrt{7} - \sqrt{3}\) и \(2 + \sqrt{5}\) не равны нулю. Если в знаменателе три слагаемых, например \(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1\), два из них объединяют в скобки, \(\sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1)\), и умножают на сопряжённое выражение \(\sqrt{3} - (\sqrt{2} - 1)\), а оставшийся в знаменателе корень убирают ещё одним умножением.

Ответ: избавиться от иррациональности в знаменателе — значит заменить дробь, в знаменателе которой есть квадратные корни, равной ей дробью с целым знаменателем, умножив числитель и знаменатель на одно и то же не равное нулю выражение; если знаменатель — сумма или разность двух слагаемых с рациональными коэффициентами и рациональными числами под корнями, то после умножения на сопряжённое выражение он становится рациональным числом, то есть корня в нём больше нет; например, \(\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) и \(\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \sqrt{7} - \sqrt{3}\).

Выражениями с вложенными радикалами называются выражения, содержащие радикалы под знаком корня. Простейшие из них имеют вид \(\sqrt{a + \sqrt{b}}\) и \(\sqrt{a - \sqrt{b}}\); внешний знак корня, под которым стоит выражение \(a + \sqrt{b}\) (или \(a - \sqrt{b}\)), называется внешним радикалом. Примеры: \(\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}\), \(\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}\), \(\sqrt{3 + \sqrt{13 + \sqrt{48}}}\), \(\sqrt{\sqrt{2}}\).

От внешнего корня часто удаётся освободиться, представив подкоренное выражение в виде квадрата. Заметим, что \(4\sqrt{5} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}\) и \(9 = 2^2 + (\sqrt{5})^2\). Тогда \(9 + 4\sqrt{5} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (2 + \sqrt{5})^2\), и \[\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = |2 + \sqrt{5}| = 2 + \sqrt{5}.\]

Знак выражения под модулем нужно установить. Так, \(6 - 2\sqrt{5} = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (1 - \sqrt{5})^2\), а число \(1 - \sqrt{5}\) отрицательно, так как \(\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1\). Поэтому \[\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(1 - \sqrt{5})^2} = |1 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 1.\] Результат \(1 - \sqrt{5}\) был бы ошибкой: значение арифметического корня не может быть отрицательным.

Можно пользоваться и формулами: если числа \(a\) и \(b\) неотрицательны и разность \(a^2 - b\) равна квадрату рационального числа, то \[\begin{aligned} \sqrt{a + \sqrt{b}} &= \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}, \\ \sqrt{a - \sqrt{b}} &= \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}. \end{aligned}\] Множитель перед внутренним корнем сначала вносят под корень: \(2\sqrt{5} = \sqrt{20}\). Для выражения \(\sqrt{6 - \sqrt{20}}\) имеем \(a = 6\), \(b = 20\), \(a^2 - b = 36 - 20 = 16 = 4^2\), поэтому \[\sqrt{6 - \sqrt{20}} = \sqrt{\frac{6 + 4}{2}} - \sqrt{\frac{6 - 4}{2}} = \sqrt{5} - 1.\] Формулы сразу дают верный знак.

Ответ: выражениями с вложенными радикалами называются выражения, содержащие радикалы под знаком корня; простейшие из них имеют вид \(\sqrt{a + \sqrt{b}}\) и \(\sqrt{a - \sqrt{b}}\), а внешний знак корня называется внешним радикалом; например, \(\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = 2 + \sqrt{5}\) и \(\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1\).