Контрольные вопросы и задания на странице 41, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Множество \(B\) является подмножеством множества \(A\), если любой элемент множества \(B\) принадлежит и множеству \(A\), то есть в \(B\) нет ни одного элемента, которого не было бы в \(A\). Записывают это так: \(B \subset A\). Чтобы проверить, что \(B \subset A\), каждый элемент множества \(B\) проверяют на принадлежность множеству \(A\): если хотя бы один из них множеству \(A\) не принадлежит, то \(B\) подмножеством множества \(A\) не является.

Например, \(\{2; 4\} \subset \{1; 2; 3; 4\}\): оба элемента 2 и 4 принадлежат второму множеству. Множество \(\{2; 5\}\) не является подмножеством множества \(\{1; 2; 3; 4\}\), так как \(5 \notin \{1; 2; 3; 4\}\). Пустое множество \(\varnothing\) является подмножеством любого множества, и любое множество является подмножеством самого себя.

Числовые множества — это множества, элементами которых являются числа. Примеры:

- конечные множества, заданные перечислением: множество натуральных делителей числа 10 — это \(\{1; 2; 5; 10\}\), множество однозначных чётных натуральных чисел — это \(\{2; 4; 6; 8\}\);
- бесконечные множества: натуральные числа \(\mathbb{N}\), целые числа \(\mathbb{Z}\), рациональные числа \(\mathbb{Q}\), действительные числа \(\mathbb{R}\); каждое из них — подмножество следующего: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\);
- числовые промежутки, например отрезок \([0; 5]\) и открытый луч \((1; +\infty)\); отрезок \([1; 2]\) — подмножество отрезка \([0; 5]\), так как каждое число от 1 до 2 лежит между 0 и 5.

Ответ: множество \(B\) является подмножеством множества \(A\) (\(B \subset A\)), если каждый элемент множества \(B\) принадлежит множеству \(A\); примеры числовых множеств — \(\{1; 2; 5; 10\}\), \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\), отрезок \([0; 5]\).

Объединение двух множеств \(A\) и \(B\) — это множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из них: только \(A\), только \(B\) или обоим сразу. Обозначение: \(A \cup B\). Общий элемент двух множеств записывают в объединении один раз.

Например, пусть \(A = \{1; 3; 5; 7\}\) и \(B = \{3; 4; 5; 6\}\). Выпишем элементы множества \(A\) и добавим к ним элементы множества \(B\), не принадлежащие \(A\), — числа 4 и 6. Порядок элементов в множестве не важен, поэтому записываем их по возрастанию: \(A \cup B = \{1; 3; 4; 5; 6; 7\}\).

Объединять можно и числовые промежутки: \((-2; 1] \cup [0; 4) = (-2; 4)\). Каждое число \(x\) из интервала \((-2; 4)\) принадлежит хотя бы одному из промежутков: при \(x \leqslant 1\) — первому, при \(x > 1\) — второму (тогда \(0 < x < 4\)). Число \(-2\) не принадлежит ни одному из промежутков: при нём в первом промежутке стоит круглая скобка, а второй промежуток начинается с 0. Число 4 тоже не принадлежит ни одному из них: при нём во втором промежутке стоит круглая скобка, а первый промежуток заканчивается числом 1. Числа левее \(-2\) и правее 4 тем более не входят в объединение.

Ответ: объединение множеств \(A\) и \(B\) — это множество \(A \cup B\) всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из них; например, \(\{1; 3; 5; 7\} \cup \{3; 4; 5; 6\} = \{1; 3; 4; 5; 6; 7\}\) и \((-2; 1] \cup [0; 4) = (-2; 4)\).

Пересечение двух множеств \(A\) и \(B\) — это множество всех элементов, принадлежащих каждому из них, то есть множество их общих элементов. Обозначение: \(A \cap B\). Если общих элементов нет, пересечение — пустое множество: \(A \cap B = \varnothing\).

Например, найдём пересечение множеств \(A = \{1; 3; 5; 7\}\) и \(B = \{3; 4; 5; 6\}\). Запишем элементы каждого множества друг под другом и подчеркнём общие: \[\begin{aligned} A &= \{1; \underline{3}; \underline{5}; 7\} \\ B &= \{\underline{3}; 4; \underline{5}; 6\} \end{aligned}\]

Общие элементы — 3 и 5, значит, \(A \cap B = \{3; 5\}\).

Пересечение числовых промежутков: \([-1; 4) \cap (2; 6] = (2; 4)\). Число \(x\) принадлежит обоим промежуткам, если \(-1 \leqslant x < 4\) и \(2 < x \leqslant 6\). Если \(x > 2\), то и \(x \geqslant -1\); если \(x < 4\), то и \(x \leqslant 6\). Поэтому оба двойных неравенства выполняются тогда и только тогда, когда \(2 < x < 4\). Концы 2 и 4 в пересечение не входят: число 2 не принадлежит промежутку \((2; 6]\), а число 4 — промежутку \([-1; 4)\).

Пересечение может быть пустым: \((-\infty; 0) \cap (1; +\infty) = \varnothing\), так как нет числа, которое одновременно меньше 0 и больше 1.

Ответ: пересечение множеств \(A\) и \(B\) — это множество \(A \cap B\) всех элементов, принадлежащих каждому из них (если общих элементов нет, то \(A \cap B = \varnothing\)); например, \(\{1; 3; 5; 7\} \cap \{3; 4; 5; 6\} = \{3; 5\}\) и \([-1; 4) \cap (2; 6] = (2; 4)\).

Каждому числу соответствует точка числовой прямой. Из двух чисел больше то, точка которого лежит правее (по направлению стрелки), и меньше то, точка которого лежит левее. Верно и обратное: если \(a < b\), то точка с координатой \(a\) лежит левее точки с координатой \(b\). Поэтому, чтобы сравнить числа, достаточно отметить их на числовой прямой и посмотреть, какая из точек правее.

Отметим на числовой прямой числа \(-2{,}5\); \(-1\); \(\frac{3}{4}\); 2 и начало отсчёта 0:

Точка \(-2{,}5\) лежит левее точки \(-1\), значит, \(-2{,}5 < -1\): из двух отрицательных чисел больше то, точка которого ближе к нулю. Отрицательные числа лежат левее нуля, а положительные — правее, поэтому любое отрицательное число меньше любого положительного: \(-1 < \frac{3}{4}\). Точка \(\frac{3}{4}\) лежит левее точки 2, поэтому \(\frac{3}{4} < 2\). Порядок точек слева направо сразу даёт всю цепочку: \(-2{,}5 < -1 < \frac{3}{4} < 2\).

Числовая прямая помогает и тогда, когда числа неудобно сравнивать напрямую: если найти число, точка которого лежит между точками двух данных чисел, то сравнить их можно через него. Например, \(\frac{5}{7} < 1\) и \(1 < 1{,}2\), значит, \(\frac{5}{7} < 1{,}2\); число 1 здесь — разделяющее.

Ответ: из двух чисел больше то, точка которого на числовой прямой лежит правее (по направлению стрелки), а меньше то, точка которого лежит левее; например, \(-2{,}5 < -1 < \frac{3}{4} < 2\).

Каждый вид числового промежутка задаётся своим неравенством (обычным или двойным): промежуток — это множество всех чисел \(x\), удовлетворяющих этому неравенству, а числовая прямая — множество всех чисел. Пусть \(a\) и \(b\) — числа, причём \(a < b\). Виды промежутков, задающие их неравенства и обозначения: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Промежуток} & \text{Неравенство} & \text{Запись} \\ \hline \text{1) отрезок} & a \leqslant x \leqslant b & [a; b] \\ \hline \text{2) интервал} & a < x < b & (a; b) \\ \hline \text{3) полуинтервал} & a \leqslant x < b & [a; b) \\ \hline \text{4) полуинтервал} & a < x \leqslant b & (a; b] \\ \hline \text{5) замкнутый луч} & x \geqslant a & [a; +\infty) \\ \hline \text{6) открытый луч} & x > a & (a; +\infty) \\ \hline \text{7) замкнутый луч} & x \leqslant a & (-\infty; a] \\ \hline \text{8) открытый луч} & x < a & (-\infty; a) \\ \hline \text{9) числовая прямая} & \text{любое } x & (-\infty; +\infty) \\ \hline \end{array}\]

Скобки в записи и кружки на прямой показывают, принадлежит ли конец промежутку. Квадратная скобка и закрашенный кружок означают, что конец принадлежит промежутку; в неравенстве при таком конце стоит нестрогий знак \(\leqslant\) или \(\geqslant\). Круглая скобка и выколотая точка означают, что конец промежутку не принадлежит; знак при нём строгий: \(<\) или \(>\). Рядом с \(-\infty\) и \(+\infty\) скобка всегда круглая: таких точек на прямой нет.

Изобразим на координатной прямой промежутки 1)—4):

Изобразим лучи 5)—8) и числовую прямую 9):

Например, двойное неравенство \(-3 < x \leqslant 2\) задаёт полуинтервал \((-3; 2]\): число \(-3\) ему не принадлежит (знак строгий), а число 2 принадлежит (знак нестрогий). Неравенство \(x \geqslant 1{,}5\) задаёт замкнутый луч \([1{,}5; +\infty)\), неравенство \(x < 0\) — открытый луч \((-\infty; 0)\), а двойное неравенство \(-1 \leqslant x \leqslant 4\) — отрезок \([-1; 4]\).

Ответ: промежуток описывается неравенством, которому удовлетворяют его числа \(x\): отрезок, интервал и полуинтервалы — двойным неравенством (например, \(-3 < x \leqslant 2\) задаёт полуинтервал \((-3; 2]\)), лучи — одним неравенством (например, \(x \geqslant 1{,}5\) задаёт луч \([1{,}5; +\infty)\)), а числовой прямой принадлежат все числа; нестрогий знак означает, что конец принадлежит промежутку (квадратная скобка, закрашенный кружок), строгий — что не принадлежит (круглая скобка, выколотая точка).

Основные свойства числовых неравенств (буквы \(a\), \(b\), \(c\) обозначают любые числа):

- антисимметричность: если \(a < b\), то \(b > a\), то есть части неравенства можно поменять местами, заменив знак неравенства на противоположный; например, \(-4 < 1\), значит, \(1 > -4\);
- транзитивность: если \(a < b\) и \(b < c\), то \(a < c\); например, \(\frac{2}{3} < 1\) и \(1 < 1{,}1\), значит, \(\frac{2}{3} < 1{,}1\); вывод верен и тогда, когда одно из двух неравенств нестрогое: если \(a < b\) и \(b \leqslant c\), то \(a < c\);
- к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число: если \(a < b\), то \(a + c < b + c\); например, из \(3 < 8\) получаем \(3 + (-5) < 8 + (-5)\), то есть \(-2 < 3\); поэтому слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя его знак на противоположный;
- обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число, знак неравенства при этом сохраняется: если \(a < b\) и \(c > 0\), то \(ac < bc\); например, из \(3 < 8\) получаем \(3 \cdot 2 < 8 \cdot 2\), то есть \(6 < 16\);
- обе части неравенства можно умножить на одно и то же отрицательное число, поменяв знак неравенства на противоположный: если \(a < b\) и \(c < 0\), то \(ac > bc\); например, из \(3 < 8\) получаем \(3 \cdot (-2) > 8 \cdot (-2)\), то есть \(-6 > -16\).

Деление на число — это умножение на обратное ему число того же знака, поэтому при делении действуют те же правила. Все свойства верны и для неравенств со знаком \(>\), и для нестрогих неравенств.

Ответ: если \(a < b\), то \(b > a\) (антисимметричность); если \(a < b\) и \(b < c\), то \(a < c\) (транзитивность); если \(a < b\), то \(a + c < b + c\) при любом \(c\); если \(a < b\) и \(c > 0\), то \(ac < bc\); если \(a < b\) и \(c < 0\), то \(ac > bc\).

Сложение. Неравенства одного знака можно почленно складывать: если \(a < b\) и \(c < d\), то \(a + c < b + d\) — меньшие части складывают с меньшими, бо́льшие — с бо́льшими. Для нестрогих неравенств получается нестрогое: если \(a \leqslant b\) и \(c \leqslant d\), то \(a + c \leqslant b + d\). Например, сложив неравенства \(2 < 5\) и \(-3 < 1\), получим \(2 + (-3) < 5 + 1\), то есть \(-1 < 6\).

Умножение. Неравенства одного знака, у которых все части неотрицательны, можно почленно умножать: если \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) — неотрицательные числа, причём \(a < b\) и \(c < d\), то \(ac < bd\). Для нестрогих неравенств с неотрицательными частями получается нестрогое: если \(a \leqslant b\) и \(c \leqslant d\), то \(ac \leqslant bd\). Например, перемножив неравенства \(2 < 3\) и \(4 < 7\), получим \(2 \cdot 4 < 3 \cdot 7\), то есть \(8 < 21\).

Условие неотрицательности частей существенно. Например, \(-5 < 1\) и \(-2 < 3\), но произведение меньших частей \((-5) \cdot (-2) = 10\) больше произведения бо́льших частей \(1 \cdot 3 = 3\): почленное умножение этих неравенств дало бы неверный результат.

Ответ: неравенства одного знака можно почленно складывать (если \(a < b\) и \(c < d\), то \(a + c < b + d\)), а неравенства одного знака с неотрицательными частями — почленно умножать (если \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) неотрицательны, \(a < b\) и \(c < d\), то \(ac < bd\)); из нестрогих неравенств при этом получается нестрогое.

Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство вида \(ax + b > 0\), где \(x\) — переменная, \(a\) и \(b\) — числа, причём \(a \ne 0\); вместо знака \(>\) может стоять любой из знаков \(<\), \(\geqslant\), \(\leqslant\).

Примеры линейных неравенств: \(3x - 6 > 0\) (здесь \(a = 3\), \(b = -6\)), \(-x + 2 \leqslant 0\) (здесь \(a = -1\), \(b = 2\)), \(0{,}5x \geqslant 0\) (здесь \(a = 0{,}5\), \(b = 0\)). Неравенство \(2x + 1 < x + 5\) переносом слагаемых в левую часть приводится к линейному неравенству \(x - 4 < 0\).

Не являются линейными, например, неравенства \(x^2 - 4 > 0\) (переменная во второй степени), \(\frac{1}{x} < 2\) (переменная в знаменателе), \(|x| \geqslant 1\) (переменная под знаком модуля) и \(0 \cdot x + 3 > 0\) (коэффициент при переменной равен нулю).

Ответ: линейным неравенством с одной переменной называется неравенство вида \(ax + b > 0\) (или со знаком \(<\), \(\geqslant\), \(\leqslant\)), где \(x\) — переменная, \(a\) и \(b\) — числа, \(a \ne 0\); например, \(3x - 6 > 0\) и \(-x + 2 \leqslant 0\).

Решение неравенства с переменной — это значение переменной, при подстановке которого в неравенство получается верное числовое неравенство.

Например, возьмём линейное неравенство \(2x - 3 > 5\).

При \(x = 6\) левая часть равна \(2 \cdot 6 - 3 = 9\), и получается верное числовое неравенство \(9 > 5\). Значит, число 6 — решение неравенства.

При \(x = 1\) левая часть равна \(2 \cdot 1 - 3 = -1\), а \(-1 < 5\), то есть неравенство неверно. Значит, число 1 решением не является.

При \(x = 4\) левая часть равна \(2 \cdot 4 - 3 = 5\), а число 5 не больше 5: неравенство строгое, поэтому число 4 тоже не является его решением.

Ответ: решением неравенства называется значение переменной, при подстановке которого получается верное числовое неравенство; например, число 6 — решение неравенства \(2x - 3 > 5\), так как \(2 \cdot 6 - 3 = 9\) и \(9 > 5\), а число 1 — нет, так как \(2 \cdot 1 - 3 = -1\) и \(-1 < 5\).

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Все решения находят с помощью равносильных преобразований: слагаемое переносят из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, обе части умножают или делят на положительное число (знак неравенства сохраняется) или на отрицательное число (знак меняется на противоположный).

Например, решим неравенство \(3 - 2x > 7\). Перенесём 3 в правую часть, а затем разделим обе части на отрицательное число \(-2\), поменяв знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 3 - 2x &> 7; \\ -2x &> 4; \qquad | : (-2) \\ x &< -2. \end{aligned}\]

Решениями неравенства являются все числа, меньшие \(-2\), и только они: множество решений — открытый луч \((-\infty; -2)\).

Бывает, что решений нет. Например, неравенство \(0 \cdot x > 3\) решений не имеет: при любом \(x\) левая часть равна 0, а 0 не больше 3.

Ответ: решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет; например, множество решений неравенства \(3 - 2x > 7\) — открытый луч \((-\infty; -2)\).

Систему образуют неравенства, которые должны выполняться одновременно; их записывают друг под другом и объединяют фигурной скобкой. Решение системы — значение переменной, которое является решением каждого неравенства системы. Решить систему неравенств — значит найти все её решения или доказать, что их нет. Для этого находят множество решений каждого неравенства системы, а затем — пересечение этих множеств. Если пересечение пусто, система решений не имеет.

Например, решим систему неравенств \[\begin{cases}2x - 1 > 3,\\ 5 - x \geqslant -1.\end{cases}\]

Решим первое неравенство: перенесём \(-1\) в правую часть и разделим обе части на положительное число 2, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 2x - 1 &> 3; \\ 2x &> 4; \qquad | : 2 \\ x &> 2. \end{aligned}\]

Решим второе неравенство: перенесём 5 в правую часть и умножим обе части на \(-1\), поменяв знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 5 - x &\geqslant -1; \\ -x &\geqslant -6; \qquad | \cdot (-1) \\ x &\leqslant 6. \end{aligned}\]

Изобразим промежутки \((2; +\infty)\) и \((-\infty; 6]\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:

Общие числа двух лучей — это числа, которые больше 2 и не больше 6: \(2 < x \leqslant 6\). Число 2 не входит в множество решений, так как неравенство \(x > 2\) строгое, а число 6 входит, так как неравенство \(x \leqslant 6\) нестрогое. Значит, множеством решений системы является полуинтервал \((2; 6]\).

Ответ: решить систему неравенств — значит найти все её решения, то есть значения переменной, удовлетворяющие каждому неравенству системы, или доказать, что их нет; для этого находят пересечение множеств решений всех неравенств системы (например, множество решений системы неравенств \(2x - 1 > 3\) и \(5 - x \geqslant -1\) — полуинтервал \((2; 6]\)).

Совокупность неравенств записывают, когда нужно найти значения переменной, при которых верно хотя бы одно из нескольких неравенств; неравенства записывают друг под другом и объединяют квадратной скобкой. Решение совокупности — значение переменной, которое является решением хотя бы одного из входящих в неё неравенств. Решить совокупность неравенств — значит найти все её решения или доказать, что их нет. Для этого находят множество решений каждого неравенства совокупности, а затем — объединение этих множеств.

Например, решим совокупность неравенств \[\left[\begin{array}{l} 3x + 2 \leqslant -4 \\ 1 - x < -2. \end{array}\right.\]

Решим первое неравенство: перенесём 2 в правую часть и разделим обе части на положительное число 3, знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 3x + 2 &\leqslant -4; \\ 3x &\leqslant -6; \qquad | : 3 \\ x &\leqslant -2. \end{aligned}\]

Решим второе неравенство: перенесём 1 в правую часть и умножим обе части на \(-1\), поменяв знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 1 - x &< -2; \\ -x &< -3; \qquad | \cdot (-1) \\ x &> 3. \end{aligned}\]

Изобразим лучи \((-\infty; -2]\) и \((3; +\infty)\) на одной числовой прямой:

Множество решений совокупности — объединение этих лучей. Между лучами есть числа, не принадлежащие ни одному из них, например 0: \(0 > -2\) и \(0 < 3\). Поэтому объединение — не промежуток, а объединение двух лучей \((-\infty; -2] \cup (3; +\infty)\). Число \(-2\) в него входит, так как неравенство \(x \leqslant -2\) нестрогое; число 3 не входит, так как неравенство \(x > 3\) строгое, а неравенству \(x \leqslant -2\) число 3 не удовлетворяет.

Ответ: решить совокупность неравенств — значит найти все её решения, то есть значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному неравенству совокупности, или доказать, что их нет; для этого находят объединение множеств решений всех неравенств совокупности (например, множество решений совокупности неравенств \(3x + 2 \leqslant -4\) и \(1 - x < -2\) — это \((-\infty; -2] \cup (3; +\infty)\)).

Графический способ — это решение неравенства с помощью графика линейной функции. Значение функции \(f(x) = ax + b\) положительно тогда и только тогда, когда соответствующая точка графика лежит выше оси абсцисс. Поэтому, чтобы решить неравенство \(ax + b > 0\), строят график функции \(f(x) = ax + b\) — прямую — и находят все значения \(x\), при которых точки графика лежат выше оси абсцисс. Для неравенства \(ax + b \geqslant 0\) ищут значения \(x\), при которых точки графика лежат не ниже оси абсцисс, для \(ax + b < 0\) — ниже оси, для \(ax + b \leqslant 0\) — не выше оси. Границу между такими значениями \(x\) — абсциссу точки пересечения графика с осью абсцисс — находят точно, решив уравнение \(ax + b = 0\).

Например, решим графически неравенство \(-2x + 4 \geqslant 0\). Графиком функции \(f(x) = -2x + 4\) является прямая. При \(x = 0\) значение функции равно 4, при \(x = 3\) оно равно \(-2 \cdot 3 + 4 = -2\), поэтому прямая проходит через точки \((0; 4)\) и \((3; -2)\). Абсциссу точки пересечения графика с осью абсцисс найдём из уравнения \(-2x + 4 = 0\): \(-2x = -4\), \(x = 2\).

Точки графика лежат выше оси абсцисс при \(x < 2\), на оси — при \(x = 2\), ниже оси — при \(x > 2\). Значит, график лежит не ниже оси абсцисс при \(x \leqslant 2\), и множество решений неравенства \(-2x + 4 \geqslant 0\) — луч \((-\infty; 2]\).

Так же решают неравенство, в одной части которого стоит значение линейной функции, а в другой — число \(c\): вместо оси абсцисс график сравнивают с прямой \(y = c\), которая проходит через точку \((0; c)\) параллельно оси абсцисс. Неравенство \(f(x) < c\) верно при тех значениях \(x\), при которых точки графика лежат ниже этой прямой, а неравенство \(f(x) > c\) — при тех, при которых точки графика лежат выше неё.

Ответ: графический способ решения неравенства \(ax + b > 0\) состоит в том, чтобы построить график функции \(f(x) = ax + b\) и найти все значения \(x\), при которых точки графика лежат выше оси абсцисс (для знака \(\geqslant\) — не ниже оси, для \(<\) — ниже, для \(\leqslant\) — не выше); неравенство \(f(x) < c\) решают так же, сравнивая график с прямой \(y = c\).