Страница 33 номер 1.97, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ.
а) \(\dfrac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}}{2-\dfrac{1}{3}}\);
б) \(\dfrac{3+\dfrac{p}{q}}{3-\dfrac{p}{q}}\);
в) \(\dfrac{\dfrac{1}{y}-x}{\dfrac{1}{y}+x}\);
г) \(\dfrac{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}\);
д) \(\dfrac{\dfrac{1}{a}-b}{\dfrac{1}{b}-a}\);
е) \(\dfrac{\dfrac{u-3}{u}}{\dfrac{1}{v}-\dfrac{3}{uv}}\).
Образец. \(\dfrac{\dfrac{a}{b}+1}{\dfrac{b}{a}+1}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b}+1\right)ab}{\left(\dfrac{b}{a}+1\right)ab}=\dfrac{a^2+ab}{b^2+ab}=\dfrac{a(a+b)}{b(a+b)}=\dfrac{a}{b}\).
а) Общий знаменатель — 6:
\[\frac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}}{2-\dfrac{1}{3}} = \frac{\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}\right)\cdot 6}{\left(2-\dfrac{1}{3}\right)\cdot 6} = \frac{4-3}{12-2} = \frac{1}{10}.\]
б) Общий знаменатель — \(q\):
\[\frac{3+\dfrac{p}{q}}{3-\dfrac{p}{q}} = \frac{\left(3+\dfrac{p}{q}\right)q}{\left(3-\dfrac{p}{q}\right)q} = \frac{3q+p}{3q-p}.\]
в) Общий знаменатель — \(y\):
\[\frac{\dfrac{1}{y}-x}{\dfrac{1}{y}+x} = \frac{\left(\dfrac{1}{y}-x\right)y}{\left(\dfrac{1}{y}+x\right)y} = \frac{1-xy}{1+xy}.\]
г) Общий знаменатель — \(xy\):
\[\frac{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}} = \frac{\left(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}\right)xy}{\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)xy} = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}.\]
д) Общий знаменатель — \(ab\):
\[\begin{aligned} &\frac{\dfrac{1}{a}-b}{\dfrac{1}{b}-a} = \frac{\left(\dfrac{1}{a}-b\right)ab}{\left(\dfrac{1}{b}-a\right)ab} = {} \\ &= \frac{b-ab^2}{a-a^2b} = \frac{b(1-ab)}{a(1-ab)} = \frac{b}{a}. \end{aligned}\]
е) Общий знаменатель — \(uv\):
\[\begin{aligned} &\frac{\dfrac{u-3}{u}}{\dfrac{1}{v}-\dfrac{3}{uv}} = \frac{\dfrac{u-3}{u}\cdot uv}{\left(\dfrac{1}{v}-\dfrac{3}{uv}\right)uv} = {} \\ &= \frac{v(u-3)}{u-3} = v. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{1}{10}\); б) \(\frac{3q+p}{3q-p}\); в) \(\frac{1-xy}{1+xy}\); г) \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\); д) \(\frac{b}{a}\); е) \(v\).
РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ.
а) \(\dfrac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}}{2-\dfrac{1}{3}}\);
б) \(\dfrac{3+\dfrac{p}{q}}{3-\dfrac{p}{q}}\);
в) \(\dfrac{\dfrac{1}{y}-x}{\dfrac{1}{y}+x}\);
г) \(\dfrac{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}\);
д) \(\dfrac{\dfrac{1}{a}-b}{\dfrac{1}{b}-a}\);
е) \(\dfrac{\dfrac{u-3}{u}}{\dfrac{1}{v}-\dfrac{3}{uv}}\).
Образец. \(\dfrac{\dfrac{a}{b}+1}{\dfrac{b}{a}+1}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b}+1\right)ab}{\left(\dfrac{b}{a}+1\right)ab}=\dfrac{a^2+ab}{b^2+ab}=\dfrac{a(a+b)}{b(a+b)}=\dfrac{a}{b}\).
Числитель и знаменатель большой дроби умножаем на общий знаменатель тех дробей, из которых она составлена.
а) Общий знаменатель дробей \(\frac{2}{3}\), \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{3}\) — число 6:
\[\frac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}}{2-\dfrac{1}{3}} = \frac{\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}\right)\cdot 6}{\left(2-\dfrac{1}{3}\right)\cdot 6} = \frac{4-3}{12-2} = \frac{1}{10}.\]
б) Общий знаменатель — \(q\):
\[\frac{3+\dfrac{p}{q}}{3-\dfrac{p}{q}} = \frac{\left(3+\dfrac{p}{q}\right)q}{\left(3-\dfrac{p}{q}\right)q} = \frac{3q+p}{3q-p}.\]
в) Общий знаменатель — \(y\):
\[\frac{\dfrac{1}{y}-x}{\dfrac{1}{y}+x} = \frac{\left(\dfrac{1}{y}-x\right)y}{\left(\dfrac{1}{y}+x\right)y} = \frac{1-xy}{1+xy}.\]
г) Общий знаменатель — \(xy\):
\[\frac{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}} = \frac{\left(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}\right)xy}{\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)xy} = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}.\]
д) Общий знаменатель — \(ab\):
\[\begin{aligned} &\frac{\dfrac{1}{a}-b}{\dfrac{1}{b}-a} = \frac{\left(\dfrac{1}{a}-b\right)ab}{\left(\dfrac{1}{b}-a\right)ab} = {} \\ &= \frac{b-ab^2}{a-a^2b} = \frac{b(1-ab)}{a(1-ab)} = \frac{b}{a}. \end{aligned}\]
е) Общий знаменатель — \(uv\):
\[\begin{aligned} &\frac{\dfrac{u-3}{u}}{\dfrac{1}{v}-\dfrac{3}{uv}} = \frac{\dfrac{u-3}{u}\cdot uv}{\left(\dfrac{1}{v}-\dfrac{3}{uv}\right)uv} = {} \\ &= \frac{v(u-3)}{u-3} = v. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{1}{10}\); б) \(\frac{3q+p}{3q-p}\); в) \(\frac{1-xy}{1+xy}\); г) \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\); д) \(\frac{b}{a}\); е) \(v\).
