Страница 33 номер 1.98, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Выразите из формулы каждую переменную через остальные переменные:
а) \(\frac{1}{R}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\);
б) \(\frac{1}{D}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}\).
а) Свернём правую часть в одну дробь: \(\frac{1}{R} = \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2}\), откуда
\[R = 1 : \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}.\]
\[\frac{1}{r_1} = \frac{1}{R}-\frac{1}{r_2} = \frac{r_2 - R}{R r_2}, \qquad r_1 = \frac{R r_2}{r_2 - R}.\]
\[\frac{1}{r_2} = \frac{1}{R}-\frac{1}{r_1} = \frac{r_1 - R}{R r_1}, \qquad r_2 = \frac{R r_1}{r_1 - R}.\]
б) Формула отличается от предыдущей только буквами: \(\frac{1}{D} = \frac{d_1 + d_2}{d_1 d_2}\), откуда
\[D = 1 : \frac{d_1 + d_2}{d_1 d_2} = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}.\]
\[\frac{1}{d_1} = \frac{1}{D}-\frac{1}{d_2} = \frac{d_2 - D}{D d_2}, \qquad d_1 = \frac{D d_2}{d_2 - D}.\]
\[\frac{1}{d_2} = \frac{1}{D}-\frac{1}{d_1} = \frac{d_1 - D}{D d_1}, \qquad d_2 = \frac{D d_1}{d_1 - D}.\]
Ответ: а) \(R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}\), \(r_1 = \frac{R r_2}{r_2 - R}\), \(r_2 = \frac{R r_1}{r_1 - R}\); б) \(D = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}\), \(d_1 = \frac{D d_2}{d_2 - D}\), \(d_2 = \frac{D d_1}{d_1 - D}\).
Выразите из формулы каждую переменную через остальные переменные:
а) \(\frac{1}{R}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\);
б) \(\frac{1}{D}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}\).
а) Заменим сумму в правой части равенства одной дробью: \(\frac{1}{R} = \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2}\). Разделив 1 на каждую из этих равных дробей, получим значение \(R\):
\[R = 1 : \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}.\]
Слагаемое \(\frac{1}{r_1}\) равно разности данной суммы и второго слагаемого:
\[\frac{1}{r_1} = \frac{1}{R}-\frac{1}{r_2} = \frac{r_2 - R}{R r_2}, \qquad r_1 = \frac{R r_2}{r_2 - R}.\]
Точно так же выражается и \(r_2\):
\[\frac{1}{r_2} = \frac{1}{R}-\frac{1}{r_1} = \frac{r_1 - R}{R r_1}, \qquad r_2 = \frac{R r_1}{r_1 - R}.\]
б) Формула отличается от предыдущей только буквами, поэтому и переменные выражаются так же: \(\frac{1}{D} = \frac{d_1 + d_2}{d_1 d_2}\), откуда
\[D = 1 : \frac{d_1 + d_2}{d_1 d_2} = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}.\]
\[\frac{1}{d_1} = \frac{1}{D}-\frac{1}{d_2} = \frac{d_2 - D}{D d_2}, \qquad d_1 = \frac{D d_2}{d_2 - D}.\]
\[\frac{1}{d_2} = \frac{1}{D}-\frac{1}{d_1} = \frac{d_1 - D}{D d_1}, \qquad d_2 = \frac{D d_1}{d_1 - D}.\]
Ответ: а) \(R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}\), \(r_1 = \frac{R r_2}{r_2 - R}\), \(r_2 = \frac{R r_1}{r_1 - R}\); б) \(D = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}\), \(d_1 = \frac{D d_2}{d_2 - D}\), \(d_2 = \frac{D d_1}{d_1 - D}\).
