Страница 30 номер 1.89, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Выполните действия (1.86—1.89).
а) \(\frac{n-n^2}{2+n}\cdot\frac{1}{2n-n^2}\cdot\frac{n^2-4}{n-1}\);
б) \(\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}:\frac{x+y}{x^3-y^3}\cdot\frac{1}{(y-x)^3}\).
а) \[\frac{n-n^2}{2+n}\cdot\frac{1}{2n-n^2}\cdot\frac{n^2-4}{n-1}=\frac{n(1-n)(n-2)(n+2)}{(n+2)\cdot n(2-n)(n-1)}.\]
Заменим в числителе \(1-n\) на \(n-1\), а в знаменателе \(2-n\) на \(n-2\): каждая такая замена меняет знак дроби на противоположный, а две замены возвращают прежний знак.
\[\frac{n(1-n)(n-2)(n+2)}{(n+2)\cdot n(2-n)(n-1)}=\frac{n(n-1)(n-2)(n+2)}{(n+2)\cdot n(n-2)(n-1)}=1.\]
б) \[\begin{aligned} &\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}:\frac{x+y}{x^3-y^3}\cdot\frac{1}{(y-x)^3}= {} \\ &=\frac{(x-y)(x+y)}{x^2+xy+y^2}\cdot\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x+y}\cdot\frac{1}{(y-x)^3}= {} \\ &=\frac{(x-y)^2(x+y)(x^2+xy+y^2)}{(x^2+xy+y^2)(x+y)(y-x)^3}=\frac{(x-y)^2}{(y-x)^3}. \end{aligned}\]
Выражения \(y-x\) и \(x-y\) противоположны, поэтому \((y-x)^3=-(x-y)^3\):
\[\frac{(x-y)^2}{(y-x)^3}=-\frac{(x-y)^2}{(x-y)^3}=-\frac{1}{x-y}=\frac{1}{y-x}.\]
Ответ: а) 1; б) \(\frac{1}{y-x}\).
Выполните действия (1.86—1.89).
а) \(\frac{n-n^2}{2+n}\cdot\frac{1}{2n-n^2}\cdot\frac{n^2-4}{n-1}\);
б) \(\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}:\frac{x+y}{x^3-y^3}\cdot\frac{1}{(y-x)^3}\).
а) Разложим на множители: \(n-n^2=n(1-n)\), \(2n-n^2=n(2-n)\), \(n^2-4=(n-2)(n+2)\). Перемножим дроби:
\[\frac{n-n^2}{2+n}\cdot\frac{1}{2n-n^2}\cdot\frac{n^2-4}{n-1}=\frac{n(1-n)(n-2)(n+2)}{(n+2)\cdot n(2-n)(n-1)}.\]
Заменим в числителе \(1-n\) на \(n-1\), а в знаменателе \(2-n\) на \(n-2\): каждая такая замена меняет знак дроби на противоположный, а две замены возвращают прежний знак. После этого числитель и знаменатель дроби совпадают:
\[\frac{n(1-n)(n-2)(n+2)}{(n+2)\cdot n(2-n)(n-1)}=\frac{n(n-1)(n-2)(n+2)}{(n+2)\cdot n(n-2)(n-1)}=1.\]
б) Деление заменим умножением на дробь, обратную делителю, и разложим числители на множители: \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\), \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\):
\[\begin{aligned} &\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}:\frac{x+y}{x^3-y^3}\cdot\frac{1}{(y-x)^3}= {} \\ &=\frac{(x-y)(x+y)}{x^2+xy+y^2}\cdot\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x+y}\cdot\frac{1}{(y-x)^3}= {} \\ &=\frac{(x-y)^2(x+y)(x^2+xy+y^2)}{(x^2+xy+y^2)(x+y)(y-x)^3}=\frac{(x-y)^2}{(y-x)^3}. \end{aligned}\]
Выражения \(y-x\) и \(x-y\) противоположны, поэтому \((y-x)^3=-(x-y)^3\):
\[\frac{(x-y)^2}{(y-x)^3}=-\frac{(x-y)^2}{(x-y)^3}=-\frac{1}{x-y}=\frac{1}{y-x}.\]
Ответ: а) 1; б) \(\frac{1}{y-x}\).
