Страница 30 номер 1.88, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Выполните действия (1.86—1.89).
а) \(\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}\cdot\frac{y-x}{y+x}\);
б) \(\frac{2x^3+2z^3}{xz-x^2}:\frac{x^3-x^2z+xz^2}{x^2-z^2}\);
в) \(\frac{p^3-q^3}{p^4-q^4}\cdot\frac{p^2+q^2}{p-q}\);
г) \(\frac{x^4-16}{x^2-4x+4}:\frac{x^3+8}{x-2}\).
а) Множитель \(y-x\) заменим на \(x-y\), поставив знак «минус» перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}\cdot\frac{y-x}{y+x}=\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)(y-x)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)(y+x)}= {} \\ &=-\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)}=-\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}. \end{aligned}\]
б) Множитель \(z-x\) заменим на \(x-z\) со знаком «минус» перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{2x^3+2z^3}{xz-x^2}:\frac{x^3-x^2z+xz^2}{x^2-z^2}=\frac{2(x+z)(x^2-xz+z^2)}{x(z-x)}\cdot\frac{(x-z)(x+z)}{x(x^2-xz+z^2)}= {} \\ &=\frac{2(x+z)^2(x^2-xz+z^2)(x-z)}{x(z-x)\cdot x(x^2-xz+z^2)}=-\frac{2(x+z)^2(x-z)}{x^2(x-z)}=-\frac{2(x+z)^2}{x^2}. \end{aligned}\]
в) \(p^4-q^4=(p^2-q^2)(p^2+q^2)=(p-q)(p+q)(p^2+q^2)\).
\[\begin{aligned} &\frac{p^3-q^3}{p^4-q^4}\cdot\frac{p^2+q^2}{p-q}=\frac{(p-q)(p^2+pq+q^2)(p^2+q^2)}{(p-q)(p+q)(p^2+q^2)(p-q)}= {} \\ &=\frac{p^2+pq+q^2}{(p-q)(p+q)}=\frac{p^2+pq+q^2}{p^2-q^2}. \end{aligned}\]
г) \(x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)\).
\[\begin{aligned} &\frac{x^4-16}{x^2-4x+4}:\frac{x^3+8}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{(x+2)(x^2-2x+4)}= {} \\ &=\frac{(x-2)^2(x+2)(x^2+4)}{(x-2)^2(x+2)(x^2-2x+4)}=\frac{x^2+4}{x^2-2x+4}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\); б) \(-\frac{2(x+z)^2}{x^2}\); в) \(\frac{p^2+pq+q^2}{p^2-q^2}\); г) \(\frac{x^2+4}{x^2-2x+4}\).
Выполните действия (1.86—1.89).
а) \(\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}\cdot\frac{y-x}{y+x}\);
б) \(\frac{2x^3+2z^3}{xz-x^2}:\frac{x^3-x^2z+xz^2}{x^2-z^2}\);
в) \(\frac{p^3-q^3}{p^4-q^4}\cdot\frac{p^2+q^2}{p-q}\);
г) \(\frac{x^4-16}{x^2-4x+4}:\frac{x^3+8}{x-2}\).
а) Числитель и знаменатель первой дроби разложим по формулам суммы и разности кубов: \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\), \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\). Множитель \(y-x\) заменим на \(x-y\), поставив знак «минус» перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}\cdot\frac{y-x}{y+x}=\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)(y-x)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)(y+x)}= {} \\ &=-\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)}=-\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}. \end{aligned}\]
б) Разложим на множители: \(2x^3+2z^3=2(x+z)(x^2-xz+z^2)\), \(xz-x^2=x(z-x)\), \(x^3-x^2z+xz^2=x(x^2-xz+z^2)\), \(x^2-z^2=(x-z)(x+z)\). Множитель \(z-x\) заменим на \(x-z\) со знаком «минус» перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{2x^3+2z^3}{xz-x^2}:\frac{x^3-x^2z+xz^2}{x^2-z^2}=\frac{2(x+z)(x^2-xz+z^2)}{x(z-x)}\cdot\frac{(x-z)(x+z)}{x(x^2-xz+z^2)}= {} \\ &=\frac{2(x+z)^2(x^2-xz+z^2)(x-z)}{x(z-x)\cdot x(x^2-xz+z^2)}=-\frac{2(x+z)^2(x-z)}{x^2(x-z)}=-\frac{2(x+z)^2}{x^2}. \end{aligned}\]
в) Разложим на множители: \(p^3-q^3=(p-q)(p^2+pq+q^2)\), \(p^4-q^4=(p^2-q^2)(p^2+q^2)=(p-q)(p+q)(p^2+q^2)\):
\[\begin{aligned} &\frac{p^3-q^3}{p^4-q^4}\cdot\frac{p^2+q^2}{p-q}=\frac{(p-q)(p^2+pq+q^2)(p^2+q^2)}{(p-q)(p+q)(p^2+q^2)(p-q)}= {} \\ &=\frac{p^2+pq+q^2}{(p-q)(p+q)}=\frac{p^2+pq+q^2}{p^2-q^2}. \end{aligned}\]
г) Разложим на множители: \(x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)\), \(x^2-4x+4=(x-2)^2\), \(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\):
\[\begin{aligned} &\frac{x^4-16}{x^2-4x+4}:\frac{x^3+8}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{(x+2)(x^2-2x+4)}= {} \\ &=\frac{(x-2)^2(x+2)(x^2+4)}{(x-2)^2(x+2)(x^2-2x+4)}=\frac{x^2+4}{x^2-2x+4}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\); б) \(-\frac{2(x+z)^2}{x^2}\); в) \(\frac{p^2+pq+q^2}{p^2-q^2}\); г) \(\frac{x^2+4}{x^2-2x+4}\).
