Страница 29 номер 1.87, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Выполните действия (1.86—1.89).
а) \(\frac{(c-d)^2}{cd^2+d^3}:\frac{d^2-c^2}{d^4}\);
б) \(\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}\cdot\frac{(b-a)^3}{3(a+b)^3}\);
в) \(\frac{2z-2y}{(2z+2y)^2}\cdot\frac{(2y+2z)^3}{(2y-2z)^3}\);
г) \(\frac{(x-2)^2}{(x-1)^2}:\frac{(4-2x)^3}{(3-3x)^2}\).
а) Заменим \(d-c\) на противоположное выражение \(c-d\), поставив знак «минус» перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{(c-d)^2}{cd^2+d^3}:\frac{d^2-c^2}{d^4}=\frac{(c-d)^2}{d^2(c+d)}\cdot\frac{d^4}{(d-c)(d+c)}= {} \\ &=\frac{(c-d)^2\cdot d^4}{d^2(c+d)(d-c)(c+d)}=-\frac{(c-d)^2\cdot d^4}{d^2(c+d)^2(c-d)}= {} \\ &=-\frac{d^2(c-d)}{(c+d)^2}=\frac{d^2(d-c)}{(c+d)^2}. \end{aligned}\]
б) Выражения \(b-a\) и \(a-b\) противоположны, поэтому \((b-a)^3=-(a-b)^3\), и знак «минус» выносится перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}\cdot\frac{(b-a)^3}{3(a+b)^3}=\frac{(a+b)^2(b-a)^3}{(a-b)^2\cdot 3(a+b)^3}= {} \\ &=-\frac{(a+b)^2(a-b)^3}{3(a-b)^2(a+b)^3}=-\frac{a-b}{3(a+b)}=\frac{b-a}{3(a+b)}. \end{aligned}\]
в) Слагаемые в скобке переставим: \((2z+2y)^2=(2y+2z)^2\). Выражения \(2z-2y\) и \(2y-2z\) противоположны, поэтому \(2z-2y\) заменяем на \(2y-2z\) со знаком «минус» перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{2z-2y}{(2z+2y)^2}\cdot\frac{(2y+2z)^3}{(2y-2z)^3}=\frac{(2z-2y)(2y+2z)^3}{(2y+2z)^2(2y-2z)^3}= {} \\ &=\frac{(2z-2y)(2y+2z)}{(2y-2z)^3}=-\frac{(2y-2z)(2y+2z)}{(2y-2z)^3}=-\frac{2y+2z}{(2y-2z)^2}. \end{aligned}\]
г) Вынесем числовые множители: \((3-3x)^2=9(1-x)^2\), \((4-2x)^3=8(2-x)^3\). Квадраты противоположных выражений равны, поэтому \((1-x)^2=(x-1)^2\) и \((x-2)^2=(2-x)^2\):
\[\begin{aligned} &\frac{(x-2)^2}{(x-1)^2}:\frac{(4-2x)^3}{(3-3x)^2}=\frac{(x-2)^2}{(x-1)^2}\cdot\frac{9(x-1)^2}{8(2-x)^3}= {} \\ &=\frac{9(2-x)^2(x-1)^2}{8(x-1)^2(2-x)^3}=\frac{9}{8(2-x)}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{d^2(d-c)}{(c+d)^2}\); б) \(\frac{b-a}{3(a+b)}\); в) \(-\frac{2y+2z}{(2y-2z)^2}\); г) \(\frac{9}{8(2-x)}\).
Выполните действия (1.86—1.89).
а) \(\frac{(c-d)^2}{cd^2+d^3}:\frac{d^2-c^2}{d^4}\);
б) \(\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}\cdot\frac{(b-a)^3}{3(a+b)^3}\);
в) \(\frac{2z-2y}{(2z+2y)^2}\cdot\frac{(2y+2z)^3}{(2y-2z)^3}\);
г) \(\frac{(x-2)^2}{(x-1)^2}:\frac{(4-2x)^3}{(3-3x)^2}\).
а) Знаменатель первой дроби разложим на множители: \(cd^2+d^3=d^2(c+d)\), а числитель делителя — по формуле разности квадратов: \(d^2-c^2=(d-c)(d+c)\). Заменим \(d-c\) на противоположное выражение \(c-d\), поставив знак «минус» перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{(c-d)^2}{cd^2+d^3}:\frac{d^2-c^2}{d^4}=\frac{(c-d)^2}{d^2(c+d)}\cdot\frac{d^4}{(d-c)(d+c)}= {} \\ &=\frac{(c-d)^2\cdot d^4}{d^2(c+d)(d-c)(c+d)}=-\frac{(c-d)^2\cdot d^4}{d^2(c+d)^2(c-d)}= {} \\ &=-\frac{d^2(c-d)}{(c+d)^2}=\frac{d^2(d-c)}{(c+d)^2}. \end{aligned}\]
б) Выражения \(b-a\) и \(a-b\) противоположны, поэтому \((b-a)^3=-(a-b)^3\), и знак «минус» выносится перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}\cdot\frac{(b-a)^3}{3(a+b)^3}=\frac{(a+b)^2(b-a)^3}{(a-b)^2\cdot 3(a+b)^3}= {} \\ &=-\frac{(a+b)^2(a-b)^3}{3(a-b)^2(a+b)^3}=-\frac{a-b}{3(a+b)}=\frac{b-a}{3(a+b)}. \end{aligned}\]
в) Слагаемые в скобке переставим: \((2z+2y)^2=(2y+2z)^2\). Выражения \(2z-2y\) и \(2y-2z\) противоположны, поэтому \(2z-2y\) заменяем на \(2y-2z\) со знаком «минус» перед дробью:
\[\begin{aligned} &\frac{2z-2y}{(2z+2y)^2}\cdot\frac{(2y+2z)^3}{(2y-2z)^3}=\frac{(2z-2y)(2y+2z)^3}{(2y+2z)^2(2y-2z)^3}= {} \\ &=\frac{(2z-2y)(2y+2z)}{(2y-2z)^3}=-\frac{(2y-2z)(2y+2z)}{(2y-2z)^3}=-\frac{2y+2z}{(2y-2z)^2}. \end{aligned}\]
г) Вынесем числовые множители: \((3-3x)^2=9(1-x)^2\), \((4-2x)^3=8(2-x)^3\). Квадраты противоположных выражений равны, поэтому \((1-x)^2=(x-1)^2\) и \((x-2)^2=(2-x)^2\):
\[\begin{aligned} &\frac{(x-2)^2}{(x-1)^2}:\frac{(4-2x)^3}{(3-3x)^2}=\frac{(x-2)^2}{(x-1)^2}\cdot\frac{9(x-1)^2}{8(2-x)^3}= {} \\ &=\frac{9(2-x)^2(x-1)^2}{8(x-1)^2(2-x)^3}=\frac{9}{8(2-x)}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{d^2(d-c)}{(c+d)^2}\); б) \(\frac{b-a}{3(a+b)}\); в) \(-\frac{2y+2z}{(2y-2z)^2}\); г) \(\frac{9}{8(2-x)}\).
