Страница 28 номер 1.78, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Выполните деление:
а) \(\frac{ax-xy}{a}:\frac{a^2-ay}{x}\);
б) \(\frac{ab+ac}{bc}:\frac{ab-ac}{bc}\);
в) \(\frac{x}{x^2-y^2}:\frac{1}{5x+5y}\);
г) \(\frac{1}{a^2-ab}:\frac{b}{a^2-b^2}\);
д) \(\frac{a^2+ab}{b^2}:\frac{a^2+a}{b}\);
е) \(\frac{m^2-mn}{n}:\frac{mn-n^2}{m}\).
а) \(ax-xy=x(a-y)\) и \(a^2-ay=a(a-y)\):
\[\frac{ax-xy}{a}:\frac{a^2-ay}{x}=\frac{ax-xy}{a}\cdot\frac{x}{a^2-ay}=\frac{x(a-y)\cdot x}{a\cdot a(a-y)}=\frac{x^2}{a^2}.\]
б) \(ab+ac=a(b+c)\) и \(ab-ac=a(b-c)\):
\[\frac{ab+ac}{bc}:\frac{ab-ac}{bc}=\frac{ab+ac}{bc}\cdot\frac{bc}{ab-ac}=\frac{a(b+c)\cdot bc}{bc\cdot a(b-c)}=\frac{b+c}{b-c}.\]
в) \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) и \(5x+5y=5(x+y)\):
\[\frac{x}{x^2-y^2}:\frac{1}{5x+5y}=\frac{x}{x^2-y^2}\cdot\frac{5x+5y}{1}=\frac{x\cdot 5(x+y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{5x}{x-y}.\]
г) \(a^2-ab=a(a-b)\) и \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):
\[\frac{1}{a^2-ab}:\frac{b}{a^2-b^2}=\frac{1}{a^2-ab}\cdot\frac{a^2-b^2}{b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)\cdot b}=\frac{a+b}{ab}.\]
д) \(a^2+ab=a(a+b)\) и \(a^2+a=a(a+1)\):
\[\begin{aligned} &\frac{a^2+ab}{b^2}:\frac{a^2+a}{b}=\frac{a^2+ab}{b^2}\cdot\frac{b}{a^2+a} = {} \\ &= \frac{a(a+b)\cdot b}{b^2\cdot a(a+1)}=\frac{a+b}{b(a+1)}=\frac{a+b}{ab+b}. \end{aligned}\]
е) \(m^2-mn=m(m-n)\) и \(mn-n^2=n(m-n)\):
\[\frac{m^2-mn}{n}:\frac{mn-n^2}{m}=\frac{m^2-mn}{n}\cdot\frac{m}{mn-n^2}=\frac{m(m-n)\cdot m}{n\cdot n(m-n)}=\frac{m^2}{n^2}.\]
Ответ: а) \(\frac{x^2}{a^2}\); б) \(\frac{b + c}{b - c}\); в) \(\frac{5x}{x - y}\); г) \(\frac{a + b}{ab}\); д) \(\frac{a + b}{ab + b}\); е) \(\frac{m^2}{n^2}\).
Выполните деление:
а) \(\frac{ax-xy}{a}:\frac{a^2-ay}{x}\);
б) \(\frac{ab+ac}{bc}:\frac{ab-ac}{bc}\);
в) \(\frac{x}{x^2-y^2}:\frac{1}{5x+5y}\);
г) \(\frac{1}{a^2-ab}:\frac{b}{a^2-b^2}\);
д) \(\frac{a^2+ab}{b^2}:\frac{a^2+a}{b}\);
е) \(\frac{m^2-mn}{n}:\frac{mn-n^2}{m}\).
Деление заменим умножением на дробь, обратную делителю, разложим числители и знаменатели на множители и сократим полученную дробь.
а) \(ax - xy = x(a - y)\) и \(a^2 - ay = a(a - y)\):
\[\frac{ax - xy}{a} : \frac{a^2 - ay}{x} = \frac{ax - xy}{a} \cdot \frac{x}{a^2 - ay} = \frac{x(a - y) \cdot x}{a \cdot a(a - y)} = \frac{x^2}{a^2}.\]
б) \(ab + ac = a(b + c)\) и \(ab - ac = a(b - c)\):
\[\frac{ab + ac}{bc} : \frac{ab - ac}{bc} = \frac{ab + ac}{bc} \cdot \frac{bc}{ab - ac} = \frac{a(b + c) \cdot bc}{bc \cdot a(b - c)} = \frac{b + c}{b - c}.\]
в) \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\) и \(5x + 5y = 5(x + y)\):
\[\frac{x}{x^2 - y^2} : \frac{1}{5x + 5y} = \frac{x}{x^2 - y^2} \cdot \frac{5x + 5y}{1} = \frac{x \cdot 5(x + y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{5x}{x - y}.\]
г) \(a^2 - ab = a(a - b)\) и \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\):
\[\frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{a^2 - b^2} = \frac{1}{a^2 - ab} \cdot \frac{a^2 - b^2}{b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a(a - b) \cdot b} = \frac{a + b}{ab}.\]
д) \(a^2 + ab = a(a + b)\) и \(a^2 + a = a(a + 1)\):
\[\begin{aligned} &\frac{a^2 + ab}{b^2} : \frac{a^2 + a}{b} = \frac{a^2 + ab}{b^2} \cdot \frac{b}{a^2 + a} = {} \\ &= \frac{a(a + b) \cdot b}{b^2 \cdot a(a + 1)} = \frac{a + b}{b(a + 1)} = \frac{a + b}{ab + b}. \end{aligned}\]
е) \(m^2 - mn = m(m - n)\) и \(mn - n^2 = n(m - n)\):
\[\frac{m^2 - mn}{n} : \frac{mn - n^2}{m} = \frac{m^2 - mn}{n} \cdot \frac{m}{mn - n^2} = \frac{m(m - n) \cdot m}{n \cdot n(m - n)} = \frac{m^2}{n^2}.\]
Ответ: а) \(\frac{x^2}{a^2}\); б) \(\frac{b + c}{b - c}\); в) \(\frac{5x}{x - y}\); г) \(\frac{a + b}{ab}\); д) \(\frac{a + b}{ab + b}\); е) \(\frac{m^2}{n^2}\).
