Страница 28 номер 1.76, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Как возвести в степень дробь? Выполните возведение в степень:
а) \(\left(\frac{x^2}{y}\right)^3\);
б) \(\left(\frac{4}{bc^3}\right)^2\);
в) \(\left(\frac{a^2b}{cd^2}\right)^4\);
г) \(\left(\frac{mn}{10p^3}\right)^3\);
д) \(\left(-\frac{2a^2}{b}\right)^2\);
е) \(\left(-\frac{x^4}{2y}\right)^3\);
ж) \(\left(-\frac{ax^3}{y^2}\right)^2\);
з) \(\left(-\frac{2}{m^2n}\right)^5\).
Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень её числитель и её знаменатель: \(\left(\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n}\).
а) \[\left(\frac{x^2}{y}\right)^3=\frac{(x^2)^3}{y^3}=\frac{x^6}{y^3}.\]
б) \[\left(\frac{4}{bc^3}\right)^2=\frac{4^2}{b^2(c^3)^2}=\frac{16}{b^2c^6}.\]
в) \[\left(\frac{a^2b}{cd^2}\right)^4=\frac{(a^2)^4b^4}{c^4(d^2)^4}=\frac{a^8b^4}{c^4d^8}.\]
г) \[\left(\frac{mn}{10p^3}\right)^3=\frac{m^3n^3}{10^3(p^3)^3}=\frac{m^3n^3}{1000p^9}.\]
д) Показатель степени чётный, поэтому знак «минус» перед дробью исчезает:
\[\left(-\frac{2a^2}{b}\right)^2=\frac{2^2(a^2)^2}{b^2}=\frac{4a^4}{b^2}.\]
е) Показатель степени нечётный, поэтому знак «минус» перед дробью сохраняется:
\[\left(-\frac{x^4}{2y}\right)^3=-\frac{(x^4)^3}{2^3y^3}=-\frac{x^{12}}{8y^3}.\]
ж) Показатель степени чётный, знак «минус» исчезает:
\[\left(-\frac{ax^3}{y^2}\right)^2=\frac{a^2(x^3)^2}{(y^2)^2}=\frac{a^2x^6}{y^4}.\]
з) Показатель степени нечётный, знак «минус» сохраняется:
\[\left(-\frac{2}{m^2n}\right)^5=-\frac{2^5}{(m^2)^5n^5}=-\frac{32}{m^{10}n^5}.\]
Ответ: чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень её числитель и её знаменатель; а) \(\frac{x^6}{y^3}\); б) \(\frac{16}{b^2c^6}\); в) \(\frac{a^8b^4}{c^4d^8}\); г) \(\frac{m^3n^3}{1000p^9}\); д) \(\frac{4a^4}{b^2}\); е) \(-\frac{x^{12}}{8y^3}\); ж) \(\frac{a^2x^6}{y^4}\); з) \(-\frac{32}{m^{10}n^5}\).
Как возвести в степень дробь? Выполните возведение в степень:
а) \(\left(\frac{x^2}{y}\right)^3\);
б) \(\left(\frac{4}{bc^3}\right)^2\);
в) \(\left(\frac{a^2b}{cd^2}\right)^4\);
г) \(\left(\frac{mn}{10p^3}\right)^3\);
д) \(\left(-\frac{2a^2}{b}\right)^2\);
е) \(\left(-\frac{x^4}{2y}\right)^3\);
ж) \(\left(-\frac{ax^3}{y^2}\right)^2\);
з) \(\left(-\frac{2}{m^2n}\right)^5\).
Возведение в степень — это умножение одинаковых множителей, поэтому по правилу умножения дробей \(\left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A}{B} \cdot \frac{A}{B} \cdot \ldots \cdot \frac{A}{B} = \frac{A^n}{B^n}\). Значит, чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень её числитель и её знаменатель.
а)
\[\left(\frac{x^2}{y}\right)^3 = \frac{(x^2)^3}{y^3} = \frac{x^6}{y^3}.\]
б)
\[\left(\frac{4}{bc^3}\right)^2 = \frac{4^2}{b^2(c^3)^2} = \frac{16}{b^2c^6}.\]
в)
\[\left(\frac{a^2b}{cd^2}\right)^4 = \frac{(a^2)^4b^4}{c^4(d^2)^4} = \frac{a^8b^4}{c^4d^8}.\]
г)
\[\left(\frac{mn}{10p^3}\right)^3 = \frac{m^3n^3}{10^3(p^3)^3} = \frac{m^3n^3}{1000p^9}.\]
д) Показатель степени чётный, поэтому знак «минус» перед дробью исчезает:
\[\left(-\frac{2a^2}{b}\right)^2 = \frac{2^2(a^2)^2}{b^2} = \frac{4a^4}{b^2}.\]
е) Показатель степени нечётный, поэтому знак «минус» перед дробью сохраняется:
\[\left(-\frac{x^4}{2y}\right)^3 = -\frac{(x^4)^3}{2^3y^3} = -\frac{x^{12}}{8y^3}.\]
ж) Показатель степени чётный, знак «минус» исчезает:
\[\left(-\frac{ax^3}{y^2}\right)^2 = \frac{a^2(x^3)^2}{(y^2)^2} = \frac{a^2x^6}{y^4}.\]
з) Показатель степени нечётный, знак «минус» сохраняется:
\[\left(-\frac{2}{m^2n}\right)^5 = -\frac{2^5}{(m^2)^5n^5} = -\frac{32}{m^{10}n^5}.\]
Ответ: чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень её числитель и её знаменатель; а) \(\frac{x^6}{y^3}\); б) \(\frac{16}{b^2c^6}\); в) \(\frac{a^8b^4}{c^4d^8}\); г) \(\frac{m^3n^3}{1000p^9}\); д) \(\frac{4a^4}{b^2}\); е) \(-\frac{x^{12}}{8y^3}\); ж) \(\frac{a^2x^6}{y^4}\); з) \(-\frac{32}{m^{10}n^5}\).
