Страница 25 номер 1.72, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

1) Выполним вычитание в левой части каждого равенства:
\[\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6} = \frac{1}{2 \cdot 3}; \qquad \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12} = \frac{1}{3 \cdot 4};\]

\[\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 4}{20} = \frac{1}{20} = \frac{1}{4 \cdot 5}; \qquad \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6 - 5}{30} = \frac{1}{30} = \frac{1}{5 \cdot 6}.\]

Все четыре равенства верны. Цепочку можно продолжить: \(\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{42} = \frac{1}{6 \cdot 7}\), \(\frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{1}{56} = \frac{1}{7 \cdot 8}\) и так далее.

В каждом равенстве из дроби с числителем 1 вычитается дробь с числителем 1, причём знаменатели этих дробей — соседние натуральные числа, а результат равен дроби с числителем 1 и знаменателем, равным произведению этих чисел. Буквенная запись:
\[\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n(n + 1)}.\]

Докажем это равенство. Общий знаменатель дробей левой части — \(n(n + 1)\), дополнительные множители — \(n + 1\) и \(n\):
\[\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{(n + 1) - n}{n(n + 1)} = \frac{1}{n(n + 1)}.\]

2) Доказанное равенство читается и справа налево: дробь \(\frac{1}{n(n + 1)}\) можно заменить разностью \(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\).

а) Заменим каждое слагаемое такой разностью:
\[\begin{aligned} &\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)} = {} \\ &= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right). \end{aligned}\]

Все дроби, кроме первого слагаемого 1 и последнего \(\frac{1}{n + 1}\), входят в сумму дважды с противоположными знаками и взаимно уничтожаются:
\[1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1 - 1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}.\]

б) Так же заменим каждое слагаемое разностью двух дробей:
\[\begin{aligned} &\frac{1}{x(x + 1)} + \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \ldots + \frac{1}{(x + 99)(x + 100)} = {} \\ &= \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}\right) + \left(\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{x + 99} - \frac{1}{x + 100}\right) = {} \\ &= \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 100} = \frac{x + 100 - x}{x(x + 100)} = \frac{100}{x(x + 100)}. \end{aligned}\]

3) Другой способ — складывать дроби по одной.

а) \(\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}\); \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 1}{6} = \frac{2}{3}\); \(\frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{8 + 1}{12} = \frac{3}{4}\); \(\frac{3}{4} + \frac{1}{20} = \frac{15 + 1}{20} = \frac{4}{5}\).

Суммы одного, двух, трёх и четырёх первых слагаемых равны \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{4}{5}\), то есть сумма \(n\) первых слагаемых равна \(\frac{n}{n + 1}\) — результат тот же.

б) Сложим первые две дроби, а к результату прибавим третью:
\[\frac{1}{x(x + 1)} + \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{(x + 2) + x}{x(x + 1)(x + 2)} = \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x(x + 2)};\]

\[\frac{2}{x(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{2(x + 3) + x}{x(x + 2)(x + 3)} = \frac{3(x + 2)}{x(x + 2)(x + 3)} = \frac{3}{x(x + 3)}.\]

Сумма двух дробей равна \(\frac{2}{x(x + 2)}\), сумма трёх — \(\frac{3}{x(x + 3)}\), а сумма \(k\) дробей равна \(\frac{k}{x(x + k)}\). Для ста дробей получается \(\frac{100}{x(x + 100)}\) — результат тот же.

Ответ: 1) \(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n(n + 1)}\); 2) а) \(\frac{n}{n + 1}\); б) \(\frac{100}{x(x + 100)}\); 3) последовательное сложение дробей приводит к тем же результатам.