Страница 25 номер 1.71, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ДОКАЗЫВАЕМ. Докажите, что:
а) \(\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0\);
б) \(\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}\).
Подсказка. б) Сначала сложите первую и вторую дроби, затем прибавьте третью.
а) \(b-a=-(a-b)\), \(c-a=-(a-c)\), \(c-b=-(b-c)\):
\[\frac{1}{(b-c)(b-a)}=-\frac{1}{(a-b)(b-c)}; \qquad \frac{1}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{(a-c)(b-c)}.\]
В третьей дроби противоположными заменены оба множителя знаменателя, поэтому знак перед дробью не изменился.
Общий знаменатель — \((a-b)(a-c)(b-c)\).
\[\begin{aligned} &\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(a-c)(b-c)} = {} \\ &= \frac{(b-c)-(a-c)+(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0. \end{aligned}\]
Числитель равен нулю, значит, и вся сумма равна нулю. Равенство доказано.
б) Общий знаменатель первой и второй дробей — \(a(a+1)(a+2)\).
\[\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}=\frac{a+2+a}{a(a+1)(a+2)}=\frac{2(a+1)}{a(a+1)(a+2)}=\frac{2}{a(a+2)}.\]
К полученной дроби прибавим третью; общий знаменатель — \(a(a+2)(a+3)\).
\[\begin{aligned} &\frac{2}{a(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{2(a+3)+a}{a(a+2)(a+3)} = {} \\ &= \frac{3a+6}{a(a+2)(a+3)}=\frac{3(a+2)}{a(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}. \end{aligned}\]
Получилась дробь \(\frac{3}{a(a+3)}\) из правой части равенства. Равенство доказано.
Ответ: а) после приведения к общему знаменателю \((a - b)(a - c)(b - c)\) числитель суммы равен \((b - c) - (a - c) + (a - b) = 0\), поэтому сумма трёх дробей равна нулю; б) последовательное сложение дробей даёт \(\frac{3}{a(a + 3)}\); оба равенства доказаны.
ДОКАЗЫВАЕМ. Докажите, что:
а) \(\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0\);
б) \(\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}\).
Подсказка. б) Сначала сложите первую и вторую дроби, затем прибавьте третью.
а) В знаменателях второй и третьей дробей стоят выражения, противоположные множителям первого знаменателя: \(b - a = -(a - b)\), \(c - a = -(a - c)\), \(c - b = -(b - c)\). Заменим их:
\[\frac{1}{(b - c)(b - a)} = -\frac{1}{(a - b)(b - c)}; \qquad \frac{1}{(c - a)(c - b)} = \frac{1}{(a - c)(b - c)}.\]
В третьей дроби противоположными заменены оба множителя знаменателя, поэтому знак перед дробью не изменился.
Общий знаменатель трёх дробей — \((a - b)(a - c)(b - c)\), дополнительные множители — \(b - c\), \(a - c\) и \(a - b\):
\[\begin{aligned} &\frac{1}{(a - b)(a - c)} - \frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(a - c)(b - c)} = {} \\ &= \frac{(b - c) - (a - c) + (a - b)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = \frac{b - c - a + c + a - b}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 0. \end{aligned}\]
Числитель полученной дроби равен нулю, поэтому и вся сумма равна нулю. Равенство доказано.
б) Сложим первую и вторую дроби. Их общий знаменатель — \(a(a + 1)(a + 2)\), дополнительные множители — \(a + 2\) и \(a\):
\[\frac{1}{a(a + 1)} + \frac{1}{(a + 1)(a + 2)} = \frac{a + 2 + a}{a(a + 1)(a + 2)} = \frac{2(a + 1)}{a(a + 1)(a + 2)} = \frac{2}{a(a + 2)}.\]
К полученной дроби прибавим третью. Общий знаменатель — \(a(a + 2)(a + 3)\), дополнительные множители — \(a + 3\) и \(a\):
\[\begin{aligned} &\frac{2}{a(a + 2)} + \frac{1}{(a + 2)(a + 3)} = \frac{2(a + 3) + a}{a(a + 2)(a + 3)} = {} \\ &= \frac{3a + 6}{a(a + 2)(a + 3)} = \frac{3(a + 2)}{a(a + 2)(a + 3)} = \frac{3}{a(a + 3)}. \end{aligned}\]
Сумма трёх дробей оказалась равной дроби \(\frac{3}{a(a + 3)}\), стоящей в правой части. Равенство доказано.
Ответ: а) после приведения к общему знаменателю \((a - b)(a - c)(b - c)\) числитель суммы равен \((b - c) - (a - c) + (a - b) = 0\), поэтому сумма трёх дробей равна нулю; б) последовательное сложение дробей даёт \(\frac{3}{a(a + 3)}\); оба равенства доказаны.
