Вопросы после параграфа 1.4 на странице 27, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

Глава 1. Алгебраические дроби. 1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Страница 27, вопросы после параграфа 1.4

Задание / условие:

• Сформулируйте правила умножения и деления обыкновенных дробей и выполните действия: \(\frac{12}{25}\cdot\frac{5}{6}\); \(\frac{8}{9}:\frac{4}{15}\); \(2:\frac{10}{7}\).

• Сформулируйте правила умножения и деления алгебраических дробей и выполните: умножение дробей \(\frac{2}{x}\) и \(\frac{3}{y}\); деление дроби \(\frac{2}{x}\) на дробь \(\frac{3}{y}\).

• Объясните, как применить правило умножения дробей к преобразованию произведения \(\frac{bc}{2a}\cdot 6ac\). Найдите это произведение. Найдите частное \(\frac{bc}{2a}:6ac\), прокомментируйте свои действия.

Решение:

1. Сформулируйте правила умножения и деления обыкновенных дробей и выполните действия: \(\frac{12}{25} \cdot \frac{5}{6}\); \(\frac{8}{9} : \frac{4}{15}\); \(2 : \frac{10}{7}\).

Чтобы умножить дробь на дробь, перемножают их числители и их знаменатели; чтобы разделить дробь на дробь, делимое умножают на дробь, обратную делителю.

\[\frac{12}{25}\cdot\frac{5}{6}=\frac{12\cdot 5}{25\cdot 6}=\frac{60}{150}=\frac{2}{5};\]

\[\frac{8}{9}:\frac{4}{15}=\frac{8}{9}\cdot\frac{15}{4}=\frac{8\cdot 15}{9\cdot 4}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3};\]

\[2:\frac{10}{7}=\frac{2}{1}\cdot\frac{7}{10}=\frac{2\cdot 7}{1\cdot 10}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}.\]

Ответ: чтобы умножить дробь на дробь, перемножают их числители и их знаменатели; чтобы разделить дробь на дробь, делимое умножают на дробь, обратную делителю; \(\frac{12}{25} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2}{5}\); \(\frac{8}{9} : \frac{4}{15} = 3\frac{1}{3}\); \(2 : \frac{10}{7} = 1\frac{2}{5}\).

2. Сформулируйте правила умножения и деления алгебраических дробей и выполните: умножение дробей \(\frac{2}{x}\) и \(\frac{3}{y}\); деление дроби \(\frac{2}{x}\) на дробь \(\frac{3}{y}\).

Алгебраические дроби умножают и делят по тем же правилам, что и обыкновенные: при умножении перемножают их числители и их знаменатели, \(\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}\), а при делении делимое умножают на дробь, обратную делителю, \(\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}\).

\[\frac{2}{x}\cdot\frac{3}{y}=\frac{2\cdot 3}{x\cdot y}=\frac{6}{xy};\]

\[\frac{2}{x}:\frac{3}{y}=\frac{2}{x}\cdot\frac{y}{3}=\frac{2\cdot y}{x\cdot 3}=\frac{2y}{3x}.\]

Ответ: чтобы умножить дробь на дробь, перемножают их числители и их знаменатели (\(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}\)), а чтобы разделить — делимое умножают на дробь, обратную делителю (\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}\)); \(\frac{2}{x} \cdot \frac{3}{y} = \frac{6}{xy}\); \(\frac{2}{x} : \frac{3}{y} = \frac{2y}{3x}\).

3. Объясните, как применить правило умножения дробей к преобразованию произведения \(\frac{bc}{2a} \cdot 6ac\). Найдите это произведение. Найдите частное \(\frac{bc}{2a} : 6ac\), прокомментируйте свои действия.

Правило записано для двух дробей, а здесь дробь умножается на одночлен, поэтому одночлен \(6ac\) записываем дробью со знаменателем 1.

\[\frac{bc}{2a}\cdot 6ac=\frac{bc}{2a}\cdot\frac{6ac}{1}=\frac{bc\cdot 6ac}{2a\cdot 1}=\frac{6abc^2}{2a}=3bc^2.\]

При делении одночлен так же записываем дробью со знаменателем 1, а делимое умножаем на дробь, обратную делителю, — на \(\frac{1}{6ac}\).

\[\begin{aligned} &\frac{bc}{2a}:6ac=\frac{bc}{2a}:\frac{6ac}{1}=\frac{bc}{2a}\cdot\frac{1}{6ac} = {} \\ &= \frac{bc\cdot 1}{2a\cdot 6ac}=\frac{bc}{12a^2c}=\frac{b}{12a^2}. \end{aligned}\]

Ответ: одночлен записывают дробью со знаменателем 1, после чего применяют правило умножения или деления дробей; \(\frac{bc}{2a} \cdot 6ac = 3bc^2\); \(\frac{bc}{2a} : 6ac = \frac{b}{12a^2}\).

Задание / условие:

Решение:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели, первое произведение записать в числителе, а второе — в знаменателе.

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Выполним действия:
\[\frac{12}{25} \cdot \frac{5}{6} = \frac{12 \cdot 5}{25 \cdot 6} = \frac{60}{150} = \frac{2}{5};\]

\[\frac{8}{9} : \frac{4}{15} = \frac{8}{9} \cdot \frac{15}{4} = \frac{8 \cdot 15}{9 \cdot 4} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3};\]

\[2 : \frac{10}{7} = \frac{2}{1} \cdot \frac{7}{10} = \frac{2 \cdot 7}{1 \cdot 10} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}.\]

В последнем случае делимое 2 записано дробью со знаменателем 1, а делитель заменён обратной ему дробью \(\frac{7}{10}\).

Алгебраические дроби умножают и делят по тем же правилам, что и обыкновенные.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели, первое произведение записать в числителе дроби, а второе — в знаменателе: \(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}\).

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю: \(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}\).

Выполним умножение и деление данных дробей:
\[\frac{2}{x} \cdot \frac{3}{y} = \frac{2 \cdot 3}{x \cdot y} = \frac{6}{xy};\]

\[\frac{2}{x} : \frac{3}{y} = \frac{2}{x} \cdot \frac{y}{3} = \frac{2 \cdot y}{x \cdot 3} = \frac{2y}{3x}.\]

Правило относится к произведению двух дробей, а здесь дробь умножается на одночлен. Запишем одночлен \(6ac\) дробью со знаменателем 1 и перемножим числители и знаменатели:
\[\frac{bc}{2a} \cdot 6ac = \frac{bc}{2a} \cdot \frac{6ac}{1} = \frac{bc \cdot 6ac}{2a \cdot 1} = \frac{6abc^2}{2a} = 3bc^2.\]

При делении одночлен так же записываем дробью со знаменателем 1, а затем умножаем делимое на дробь, обратную делителю, — на \(\frac{1}{6ac}\):
\[\begin{aligned} &\frac{bc}{2a} : 6ac = \frac{bc}{2a} : \frac{6ac}{1} = \frac{bc}{2a} \cdot \frac{1}{6ac} = {} \\ &= \frac{bc \cdot 1}{2a \cdot 6ac} = \frac{bc}{12a^2c} = \frac{b}{12a^2}. \end{aligned}\]