Страница 25 номер 1.70, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ. Представьте дробь в виде суммы или в виде разности многочлена и дроби:
а) \(\frac{a^2}{a-1}\);
б) \(\frac{c^2}{c^2-1}\);
в) \(\frac{m^2+n^2}{m-n}\);
г) \(\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}\).
Образец. \(\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2-1+1}{x+1}=\frac{x^2-1}{x+1}+\frac{1}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}\).
а) \(a^2=(a^2-1)+1\), а \(\frac{a^2-1}{a-1}=a+1\):
\[\frac{a^2}{a-1}=\frac{a^2-1+1}{a-1}=\frac{a^2-1}{a-1}+\frac{1}{a-1}=a+1+\frac{1}{a-1}.\]
б) \(c^2=(c^2-1)+1\), а \(\frac{c^2-1}{c^2-1}=1\):
\[\frac{c^2}{c^2-1}=\frac{c^2-1+1}{c^2-1}=\frac{c^2-1}{c^2-1}+\frac{1}{c^2-1}=1+\frac{1}{c^2-1}.\]
в) \(m^2+n^2=(m^2-n^2)+2n^2\), а \(\frac{m^2-n^2}{m-n}=m+n\):
\[\frac{m^2+n^2}{m-n}=\frac{m^2-n^2+2n^2}{m-n}=\frac{m^2-n^2}{m-n}+\frac{2n^2}{m-n}=m+n+\frac{2n^2}{m-n}.\]
г) \(x^2+xz=x(x+z)\) делится на знаменатель, поэтому прибавлять и вычитать ничего не нужно:
\[\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}=\frac{x(x+z)+z^2}{x+z}=\frac{x(x+z)}{x+z}+\frac{z^2}{x+z}=x+\frac{z^2}{x+z}.\]
Ответ: а) \(a + 1 + \frac{1}{a - 1}\); б) \(1 + \frac{1}{c^2 - 1}\); в) \(m + n + \frac{2n^2}{m - n}\); г) \(x + \frac{z^2}{x + z}\).
РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ. Представьте дробь в виде суммы или в виде разности многочлена и дроби:
а) \(\frac{a^2}{a-1}\);
б) \(\frac{c^2}{c^2-1}\);
в) \(\frac{m^2+n^2}{m-n}\);
г) \(\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}\).
Образец. \(\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2-1+1}{x+1}=\frac{x^2-1}{x+1}+\frac{1}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}\).
В числителе каждой дроби выделим слагаемое, которое делится на знаменатель: для этого прибавим к числителю подходящее выражение и его же вычтем.
а) \(a^2 = (a^2 - 1) + 1\), а \(\frac{a^2 - 1}{a - 1} = a + 1\):
\[\frac{a^2}{a - 1} = \frac{a^2 - 1 + 1}{a - 1} = \frac{a^2 - 1}{a - 1} + \frac{1}{a - 1} = a + 1 + \frac{1}{a - 1}.\]
б) \(c^2 = (c^2 - 1) + 1\), а \(\frac{c^2 - 1}{c^2 - 1} = 1\):
\[\frac{c^2}{c^2 - 1} = \frac{c^2 - 1 + 1}{c^2 - 1} = \frac{c^2 - 1}{c^2 - 1} + \frac{1}{c^2 - 1} = 1 + \frac{1}{c^2 - 1}.\]
в) \(m^2 + n^2 = (m^2 - n^2) + 2n^2\), а \(\frac{m^2 - n^2}{m - n} = m + n\):
\[\frac{m^2 + n^2}{m - n} = \frac{m^2 - n^2 + 2n^2}{m - n} = \frac{m^2 - n^2}{m - n} + \frac{2n^2}{m - n} = m + n + \frac{2n^2}{m - n}.\]
г) Сумма первых двух слагаемых числителя делится на знаменатель: \(x^2 + xz = x(x + z)\), поэтому прибавлять и вычитать ничего не нужно:
\[\frac{x^2 + xz + z^2}{x + z} = \frac{x(x + z) + z^2}{x + z} = \frac{x(x + z)}{x + z} + \frac{z^2}{x + z} = x + \frac{z^2}{x + z}.\]
Ответ: а) \(a + 1 + \frac{1}{a - 1}\); б) \(1 + \frac{1}{c^2 - 1}\); в) \(m + n + \frac{2n^2}{m - n}\); г) \(x + \frac{z^2}{x + z}\).
