Страница 25 номер 1.69, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

Целое выражение запишем дробью со знаменателем 1 и приведём к знаменателю данной дроби — он и служит общим знаменателем.

а) Дополнительный множитель двучлена \(2x - y\) — это \(y\):
\[\begin{aligned} &2x - y - \frac{2x - y^2}{y} = \frac{(2x - y)y - (2x - y^2)}{y} = {} \\ &= \frac{2xy - y^2 - 2x + y^2}{y} = \frac{2xy - 2x}{y} = \frac{2x(y - 1)}{y}. \end{aligned}\]

б) Дополнительный множитель двучлена \(1 - a\) — это \(3 + a\):
\[\begin{aligned} &1 - a + \frac{a^2 - 3}{3 + a} = \frac{(1 - a)(3 + a) + a^2 - 3}{3 + a} = {} \\ &= \frac{3 + a - 3a - a^2 + a^2 - 3}{3 + a} = \frac{-2a}{3 + a} = -\frac{2a}{3 + a}. \end{aligned}\]

в) Дополнительный множитель двучлена \(2a - b\) — это \(2a + b\):
\[\begin{aligned} &\frac{a^2 + b^2}{2a + b} + 2a - b = \frac{a^2 + b^2 + (2a - b)(2a + b)}{2a + b} = {} \\ &= \frac{a^2 + b^2 + 4a^2 - b^2}{2a + b} = \frac{5a^2}{2a + b}. \end{aligned}\]

г) Дополнительный множитель двучлена \(6 + b\) — это \(6 + b\):
\[\begin{aligned} &6 + b - \frac{12b}{6 + b} = \frac{(6 + b)^2 - 12b}{6 + b} = {} \\ &= \frac{36 + 12b + b^2 - 12b}{6 + b} = \frac{36 + b^2}{6 + b}. \end{aligned}\]

д) Из дроби вычитается двучлен \(x + 2\), его дополнительный множитель — \(x - 2\):
\[\begin{aligned} &\frac{x^2 + 4}{x - 2} - x - 2 = \frac{x^2 + 4 - (x + 2)(x - 2)}{x - 2} = {} \\ &= \frac{x^2 + 4 - x^2 + 4}{x - 2} = \frac{8}{x - 2}. \end{aligned}\]

е) Из дроби вычитается двучлен \(a - 1\), его дополнительный множитель — \(a - 1\):
\[\begin{aligned} &\frac{a^2 - 3}{a - 1} - a + 1 = \frac{a^2 - 3 - (a - 1)(a - 1)}{a - 1} = {} \\ &= \frac{a^2 - 3 - a^2 + 2a - 1}{a - 1} = \frac{2a - 4}{a - 1}. \end{aligned}\]

Ответ: а) \(\frac{2x(y - 1)}{y}\); б) \(-\frac{2a}{3 + a}\); в) \(\frac{5a^2}{2a + b}\); г) \(\frac{36 + b^2}{6 + b}\); д) \(\frac{8}{x - 2}\); е) \(\frac{2a - 4}{a - 1}\).