Страница 25 номер 1.68, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение (1.65—1.68).
а) \(\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{b^2-a^2}+\frac{a}{a+b}\);
б) \(\frac{1}{x+y}-\frac{1}{y-x}-\frac{2y}{x^2-y^2}\);
в) \(\frac{a}{4-a^2}-\frac{2+a}{2a-4}-\frac{2-a}{4+2a}\);
г) \(\frac{x+1}{(x-1)^2}+\frac{2}{1-x^2}-\frac{1}{x+1}\).
а) \(b^2-a^2\) — выражение, противоположное \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), поэтому перед второй дробью ставим «минус». Общий знаменатель — \((a-b)(a+b)\).
\[\begin{aligned} &\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{b^2-a^2}+\frac{a}{a+b} = {} \\ &= \frac{a(a+b)-(a^2+b^2)+a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = {} \\ &= \frac{a^2+ab-a^2-b^2+a^2-ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2-b^2}{(a-b)(a+b)}=1. \end{aligned}\]
б) \(y-x=-(x-y)\), поэтому \(-\frac{1}{y-x}=\frac{1}{x-y}\); кроме того, \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). Общий знаменатель — \((x-y)(x+y)\).
\[\begin{aligned} &\frac{1}{x+y}-\frac{1}{y-x}-\frac{2y}{x^2-y^2}=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}-\frac{2y}{(x-y)(x+y)} = {} \\ &= \frac{(x-y)+(x+y)-2y}{(x-y)(x+y)}=\frac{2x-2y}{(x-y)(x+y)} = {} \\ &= \frac{2(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{2}{x+y}. \end{aligned}\]
в) \(4-a^2=(2-a)(2+a)\), \(2a-4=-2(2-a)\) и \(4+2a=2(2+a)\); у второй дроби знаменатель заменяем на \(2(2-a)\), а знак «минус» перед ней меняем на «плюс». Общий знаменатель — \(2(2-a)(2+a)\).
\[\begin{aligned} &\frac{a}{4-a^2}-\frac{2+a}{2a-4}-\frac{2-a}{4+2a}=\frac{a}{(2-a)(2+a)}+\frac{2+a}{2(2-a)}-\frac{2-a}{2(2+a)} = {} \\ &= \frac{2a+(2+a)^2-(2-a)^2}{2(2-a)(2+a)}=\frac{2a+4+4a+a^2-4+4a-a^2}{2(2-a)(2+a)} = {} \\ &= \frac{10a}{2(2-a)(2+a)}=\frac{5a}{4-a^2}. \end{aligned}\]
г) \(1-x^2\) — выражение, противоположное \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), поэтому перед второй дробью ставим «минус». Общий знаменатель — \((x-1)^2(x+1)\).
\[\begin{aligned} &\frac{x+1}{(x-1)^2}+\frac{2}{1-x^2}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{(x-1)^2}-\frac{2}{(x-1)(x+1)}-\frac{1}{x+1} = {} \\ &= \frac{(x+1)^2-2(x-1)-(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{x^2+2x+1-2x+2-x^2+2x-1}{(x-1)^2(x+1)} = {} \\ &= \frac{2x+2}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{2(x+1)}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{2}{(x-1)^2}. \end{aligned}\]
Ответ: а) 1; б) \(\frac{2}{x + y}\); в) \(\frac{5a}{4 - a^2}\); г) \(\frac{2}{(x - 1)^2}\).
Упростите выражение (1.65—1.68).
а) \(\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{b^2-a^2}+\frac{a}{a+b}\);
б) \(\frac{1}{x+y}-\frac{1}{y-x}-\frac{2y}{x^2-y^2}\);
в) \(\frac{a}{4-a^2}-\frac{2+a}{2a-4}-\frac{2-a}{4+2a}\);
г) \(\frac{x+1}{(x-1)^2}+\frac{2}{1-x^2}-\frac{1}{x+1}\).
а) \(b^2 - a^2\) — выражение, противоположное \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), поэтому вторую дробь запишем со знаменателем \((a - b)(a + b)\) и знаком «минус». Общий знаменатель — \((a - b)(a + b)\), дополнительные множители — \(a + b\), 1 и \(a - b\):
\[\begin{aligned} &\frac{a}{a - b} + \frac{a^2 + b^2}{b^2 - a^2} + \frac{a}{a + b} = {} \\ &= \frac{a(a + b) - (a^2 + b^2) + a(a - b)}{(a - b)(a + b)} = {} \\ &= \frac{a^2 + ab - a^2 - b^2 + a^2 - ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 - b^2}{(a - b)(a + b)} = 1. \end{aligned}\]
б) \(y - x = -(x - y)\), поэтому \(-\frac{1}{y - x} = \frac{1}{x - y}\); кроме того, \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\). Общий знаменатель — \((x - y)(x + y)\), дополнительные множители — \(x - y\), \(x + y\) и 1:
\[\begin{aligned} &\frac{1}{x + y} - \frac{1}{y - x} - \frac{2y}{x^2 - y^2} = \frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y} - \frac{2y}{(x - y)(x + y)} = {} \\ &= \frac{(x - y) + (x + y) - 2y}{(x - y)(x + y)} = \frac{2x - 2y}{(x - y)(x + y)} = {} \\ &= \frac{2(x - y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{2}{x + y}. \end{aligned}\]
в) \(4 - a^2 = (2 - a)(2 + a)\), \(2a - 4 = -2(2 - a)\) и \(4 + 2a = 2(2 + a)\). Знаменатель второй дроби заменим на \(2(2 - a)\), а знак «минус» перед дробью — на «плюс». Общий знаменатель — \(2(2 - a)(2 + a)\), дополнительные множители — 2, \(2 + a\) и \(2 - a\):
\[\begin{aligned} &\frac{a}{4 - a^2} - \frac{2 + a}{2a - 4} - \frac{2 - a}{4 + 2a} = \frac{a}{(2 - a)(2 + a)} + \frac{2 + a}{2(2 - a)} - \frac{2 - a}{2(2 + a)} = {} \\ &= \frac{2a + (2 + a)^2 - (2 - a)^2}{2(2 - a)(2 + a)} = \frac{2a + 4 + 4a + a^2 - 4 + 4a - a^2}{2(2 - a)(2 + a)} = {} \\ &= \frac{10a}{2(2 - a)(2 + a)} = \frac{5a}{4 - a^2}. \end{aligned}\]
г) \(1 - x^2\) — выражение, противоположное \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\), поэтому вторую дробь запишем со знаменателем \((x - 1)(x + 1)\) и знаком «минус». Общий знаменатель — \((x - 1)^2(x + 1)\), дополнительные множители — \(x + 1\), \(x - 1\) и \((x - 1)^2\):
\[\begin{aligned} &\frac{x + 1}{(x - 1)^2} + \frac{2}{1 - x^2} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{(x - 1)^2} - \frac{2}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{1}{x + 1} = {} \\ &= \frac{(x + 1)^2 - 2(x - 1) - (x - 1)^2}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{x^2 + 2x + 1 - 2x + 2 - x^2 + 2x - 1}{(x - 1)^2(x + 1)} = {} \\ &= \frac{2x + 2}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{2(x + 1)}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{2}{(x - 1)^2}. \end{aligned}\]
Ответ: а) 1; б) \(\frac{2}{x + y}\); в) \(\frac{5a}{4 - a^2}\); г) \(\frac{2}{(x - 1)^2}\).
