Страница 24 номер 1.67, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение (1.65—1.68).
а) \(\frac{m+n}{m-n}+\frac{4mn}{n^2-m^2}\);
б) \(\frac{1-a}{a^2-a}-\frac{1+a}{1-a^2}\);
в) \(\frac{b}{ab-a^2}+\frac{a}{ab-b^2}\);
г) \(\frac{4}{c^2-25}+\frac{2}{5c-c^2}\);
д) \(\frac{x^2}{(x-3)^2}+\frac{x}{3-x}\);
е) \(\frac{y^2}{(1-y)^2}-\frac{y+1}{y-1}\).
а) \(n^2-m^2\) — выражение, противоположное \(m^2-n^2=(m-n)(m+n)\), поэтому перед второй дробью ставим «минус». Общий знаменатель — \((m-n)(m+n)\).
\[\begin{aligned} &\frac{m+n}{m-n}+\frac{4mn}{n^2-m^2}=\frac{m+n}{m-n}-\frac{4mn}{(m-n)(m+n)} = {} \\ &= \frac{(m+n)^2-4mn}{(m-n)(m+n)}=\frac{m^2-2mn+n^2}{(m-n)(m+n)} = {} \\ &= \frac{(m-n)^2}{(m-n)(m+n)}=\frac{m-n}{m+n}. \end{aligned}\]
б) \(\frac{1-a}{a^2-a}=\frac{-(a-1)}{a(a-1)}=-\frac{1}{a}\) — первая дробь после сокращения.
\(\frac{1+a}{1-a^2}=\frac{1+a}{(1-a)(1+a)}=\frac{1}{1-a}\) — вторая дробь после сокращения.
Общий знаменатель — \(a(1-a)\).
\[\begin{aligned} &\frac{1-a}{a^2-a}-\frac{1+a}{1-a^2}=-\frac{1}{a}-\frac{1}{1-a} = {} \\ &= \frac{-(1-a)-a}{a(1-a)}=\frac{-1}{a(1-a)}=\frac{1}{a(a-1)}=\frac{1}{a^2-a}. \end{aligned}\]
В последнем переходе и числитель, и знаменатель заменены противоположными выражениями.
в) \(ab-a^2=a(b-a)\) и \(ab-b^2=b(a-b)\); заменим \(b-a\) на \(a-b\) со знаком «минус» перед первой дробью. Общий знаменатель — \(ab(a-b)\).
\[\begin{aligned} &\frac{b}{ab-a^2}+\frac{a}{ab-b^2}=-\frac{b}{a(a-b)}+\frac{a}{b(a-b)} = {} \\ &= \frac{-b\cdot b+a\cdot a}{ab(a-b)}=\frac{a^2-b^2}{ab(a-b)} = {} \\ &= \frac{(a-b)(a+b)}{ab(a-b)}=\frac{a+b}{ab}. \end{aligned}\]
г) \(c^2-25=(c-5)(c+5)\) и \(5c-c^2=c(5-c)\); заменим \(5-c\) на \(c-5\) со знаком «минус» перед второй дробью. Общий знаменатель — \(c(c-5)(c+5)\).
\[\begin{aligned} &\frac{4}{c^2-25}+\frac{2}{5c-c^2}=\frac{4}{(c-5)(c+5)}-\frac{2}{c(c-5)} = {} \\ &= \frac{4c-2(c+5)}{c(c-5)(c+5)}=\frac{2c-10}{c(c-5)(c+5)} = {} \\ &= \frac{2(c-5)}{c(c-5)(c+5)}=\frac{2}{c(c+5)}. \end{aligned}\]
д) \(3-x=-(x-3)\), поэтому вторую дробь записываем со знаменателем \(x-3\) и знаком «минус» перед ней. Общий знаменатель — \((x-3)^2\).
\[\frac{x^2}{(x-3)^2}+\frac{x}{3-x}=\frac{x^2-x(x-3)}{(x-3)^2}=\frac{x^2-x^2+3x}{(x-3)^2}=\frac{3x}{(x-3)^2}.\]
е) \((1-y)^2=(y-1)^2\) — квадраты противоположных выражений равны. Общий знаменатель — \((y-1)^2\).
\[\frac{y^2}{(1-y)^2}-\frac{y+1}{y-1}=\frac{y^2-(y+1)(y-1)}{(y-1)^2}=\frac{y^2-y^2+1}{(y-1)^2}=\frac{1}{(y-1)^2}.\]
Ответ: а) \(\frac{m - n}{m + n}\); б) \(\frac{1}{a^2 - a}\); в) \(\frac{a + b}{ab}\); г) \(\frac{2}{c(c + 5)}\); д) \(\frac{3x}{(x - 3)^2}\); е) \(\frac{1}{(y - 1)^2}\).
Упростите выражение (1.65—1.68).
а) \(\frac{m+n}{m-n}+\frac{4mn}{n^2-m^2}\);
б) \(\frac{1-a}{a^2-a}-\frac{1+a}{1-a^2}\);
в) \(\frac{b}{ab-a^2}+\frac{a}{ab-b^2}\);
г) \(\frac{4}{c^2-25}+\frac{2}{5c-c^2}\);
д) \(\frac{x^2}{(x-3)^2}+\frac{x}{3-x}\);
е) \(\frac{y^2}{(1-y)^2}-\frac{y+1}{y-1}\).
В каждом пункте разложим знаменатели дробей на множители и приведём дроби к общему знаменателю.
а) Знаменатель второй дроби \(n^2 - m^2\) противоположен выражению \(m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)\), поэтому заменим его на \((m - n)(m + n)\) и поставим перед дробью знак «минус». Общий знаменатель — \((m - n)(m + n)\), дополнительный множитель первой дроби — \(m + n\):
\[\begin{aligned} &\frac{m + n}{m - n} + \frac{4mn}{n^2 - m^2} = \frac{m + n}{m - n} - \frac{4mn}{(m - n)(m + n)} = {} \\ &= \frac{(m + n)^2 - 4mn}{(m - n)(m + n)} = \frac{m^2 - 2mn + n^2}{(m - n)(m + n)} = {} \\ &= \frac{(m - n)^2}{(m - n)(m + n)} = \frac{m - n}{m + n}. \end{aligned}\]
б) Каждую дробь сократим: \(\frac{1 - a}{a^2 - a} = \frac{-(a - 1)}{a(a - 1)} = -\frac{1}{a}\) и \(\frac{1 + a}{1 - a^2} = \frac{1 + a}{(1 - a)(1 + a)} = \frac{1}{1 - a}\). Общий знаменатель полученных дробей — \(a(1 - a)\), дополнительные множители — \(1 - a\) и \(a\):
\[\begin{aligned} &\frac{1 - a}{a^2 - a} - \frac{1 + a}{1 - a^2} = -\frac{1}{a} - \frac{1}{1 - a} = {} \\ &= \frac{-(1 - a) - a}{a(1 - a)} = \frac{-1}{a(1 - a)} = \frac{1}{a(a - 1)} = \frac{1}{a^2 - a}. \end{aligned}\]
В последнем переходе и числитель, и знаменатель заменены противоположными выражениями — по основному свойству дроби получилась равная ей дробь.
в) \(ab - a^2 = a(b - a)\) и \(ab - b^2 = b(a - b)\). Выражения \(b - a\) и \(a - b\) отличаются только знаками, поэтому в первой дроби заменим \(b - a\) на \(a - b\), поставив перед дробью знак «минус». Общий знаменатель — \(ab(a - b)\), дополнительные множители — \(b\) и \(a\):
\[\begin{aligned} &\frac{b}{ab - a^2} + \frac{a}{ab - b^2} = -\frac{b}{a(a - b)} + \frac{a}{b(a - b)} = {} \\ &= \frac{-b \cdot b + a \cdot a}{ab(a - b)} = \frac{a^2 - b^2}{ab(a - b)} = {} \\ &= \frac{(a - b)(a + b)}{ab(a - b)} = \frac{a + b}{ab}. \end{aligned}\]
г) \(c^2 - 25 = (c - 5)(c + 5)\) и \(5c - c^2 = c(5 - c)\). Заменим \(5 - c\) на \(c - 5\) со знаком «минус» перед второй дробью. Общий знаменатель — \(c(c - 5)(c + 5)\), дополнительные множители — \(c\) и \(c + 5\):
\[\begin{aligned} &\frac{4}{c^2 - 25} + \frac{2}{5c - c^2} = \frac{4}{(c - 5)(c + 5)} - \frac{2}{c(c - 5)} = {} \\ &= \frac{4c - 2(c + 5)}{c(c - 5)(c + 5)} = \frac{2c - 10}{c(c - 5)(c + 5)} = {} \\ &= \frac{2(c - 5)}{c(c - 5)(c + 5)} = \frac{2}{c(c + 5)}. \end{aligned}\]
д) \(3 - x = -(x - 3)\), поэтому вторую дробь запишем со знаменателем \(x - 3\) и знаком «минус» перед ней. Общий знаменатель — \((x - 3)^2\), дополнительный множитель второй дроби — \(x - 3\):
\[\frac{x^2}{(x - 3)^2} + \frac{x}{3 - x} = \frac{x^2 - x(x - 3)}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - x^2 + 3x}{(x - 3)^2} = \frac{3x}{(x - 3)^2}.\]
е) Квадраты противоположных выражений равны: \((1 - y)^2 = (y - 1)^2\). Общий знаменатель — \((y - 1)^2\), дополнительный множитель второй дроби — \(y - 1\):
\[\frac{y^2}{(1 - y)^2} - \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{y^2 - (y + 1)(y - 1)}{(y - 1)^2} = \frac{y^2 - y^2 + 1}{(y - 1)^2} = \frac{1}{(y - 1)^2}.\]
Ответ: а) \(\frac{m - n}{m + n}\); б) \(\frac{1}{a^2 - a}\); в) \(\frac{a + b}{ab}\); г) \(\frac{2}{c(c + 5)}\); д) \(\frac{3x}{(x - 3)^2}\); е) \(\frac{1}{(y - 1)^2}\).
