Страница 24 номер 1.66, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение (1.65—1.68).
а) \(\frac{4}{a}+\frac{4}{a^2-a}-\frac{2}{a+1}\);
б) \(\frac{x-2}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}+\frac{8}{x}\);
в) \(\frac{x+1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}\);
г) \(\frac{1}{m+n}-\frac{m+n}{m^2-mn+n^2}+\frac{4mn}{m^3+n^3}\).
а) \(a^2-a=a(a-1)\) — общий знаменатель \(a(a-1)(a+1)\).
\[\begin{aligned} &\frac{4}{a}+\frac{4}{a^2-a}-\frac{2}{a+1}=\frac{4(a-1)(a+1)+4(a+1)-2a(a-1)}{a(a-1)(a+1)} = {} \\ &= \frac{4a^2-4+4a+4-2a^2+2a}{a(a-1)(a+1)}=\frac{2a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} = {} \\ &= \frac{2(a+3)}{(a-1)(a+1)}=\frac{2a+6}{a^2-1}. \end{aligned}\]
б) \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) — общий знаменатель \(x(x-2)(x+2)\).
\[\begin{aligned} &\frac{x-2}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}+\frac{8}{x}=\frac{x(x-2)^2-x(x+2)^2+8(x-2)(x+2)}{x(x-2)(x+2)} = {} \\ &= \frac{x^3-4x^2+4x-x^3-4x^2-4x+8x^2-32}{x(x-2)(x+2)} = {} \\ &= \frac{-32}{x(x-2)(x+2)}=-\frac{32}{x(x^2-4)}. \end{aligned}\]
в) Общий знаменатель — \(x(x-1)^2\).
\[\begin{aligned} &\frac{x+1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}=\frac{x(x+1)-x(x-1)+(x-1)^2}{x(x-1)^2} = {} \\ &= \frac{x^2+x-x^2+x+x^2-2x+1}{x(x-1)^2}=\frac{x^2+1}{x(x-1)^2}. \end{aligned}\]
г) \(m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)\) — общий знаменатель.
\[\begin{aligned} &\frac{1}{m+n}-\frac{m+n}{m^2-mn+n^2}+\frac{4mn}{m^3+n^3}=\frac{m^2-mn+n^2-(m+n)^2+4mn}{m^3+n^3} = {} \\ &= \frac{m^2-mn+n^2-m^2-2mn-n^2+4mn}{m^3+n^3}=\frac{mn}{m^3+n^3}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{2a+6}{a^2-1}\); б) \(-\frac{32}{x(x^2-4)}\); в) \(\frac{x^2+1}{x(x-1)^2}\); г) \(\frac{mn}{m^3+n^3}\).
Упростите выражение (1.65—1.68).
а) \(\frac{4}{a}+\frac{4}{a^2-a}-\frac{2}{a+1}\);
б) \(\frac{x-2}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}+\frac{8}{x}\);
в) \(\frac{x+1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}\);
г) \(\frac{1}{m+n}-\frac{m+n}{m^2-mn+n^2}+\frac{4mn}{m^3+n^3}\).
а) \(a^2-a=a(a-1)\). Общий знаменатель должен делиться на \(a\), на \(a(a-1)\) и на \(a+1\); подходит \(a(a-1)(a+1)\). Дополнительный множитель первой дроби — \((a-1)(a+1)\), второй — \(a+1\), третьей — \(a(a-1)\).
\[\begin{aligned} &\frac{4}{a}+\frac{4}{a^2-a}-\frac{2}{a+1}=\frac{4(a-1)(a+1)+4(a+1)-2a(a-1)}{a(a-1)(a+1)} = {} \\ &= \frac{4a^2-4+4a+4-2a^2+2a}{a(a-1)(a+1)}=\frac{2a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} = {} \\ &= \frac{2(a+3)}{(a-1)(a+1)}=\frac{2a+6}{a^2-1}. \end{aligned}\]
б) \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), поэтому общий знаменатель — \(x(x-2)(x+2)\); дополнительный множитель первой дроби — \(x(x-2)\), второй — \(x(x+2)\), третьей — \((x-2)(x+2)\).
\[\begin{aligned} &\frac{x-2}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}+\frac{8}{x}=\frac{x(x-2)^2-x(x+2)^2+8(x-2)(x+2)}{x(x-2)(x+2)} = {} \\ &= \frac{x^3-4x^2+4x-x^3-4x^2-4x+8x^2-32}{x(x-2)(x+2)} = {} \\ &= \frac{-32}{x(x-2)(x+2)}=-\frac{32}{x(x^2-4)}. \end{aligned}\]
в) Общий знаменатель — \(x(x-1)^2\); дополнительный множитель первой дроби — \(x\), второй — \(x(x-1)\), третьей — \((x-1)^2\).
\[\begin{aligned} &\frac{x+1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}=\frac{x(x+1)-x(x-1)+(x-1)^2}{x(x-1)^2} = {} \\ &= \frac{x^2+x-x^2+x+x^2-2x+1}{x(x-1)^2}=\frac{x^2+1}{x(x-1)^2}. \end{aligned}\]
г) По формуле суммы кубов \(m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)\), поэтому общий знаменатель — \(m^3+n^3\); дополнительный множитель первой дроби — \(m^2-mn+n^2\), второй — \(m+n\).
\[\begin{aligned} &\frac{1}{m+n}-\frac{m+n}{m^2-mn+n^2}+\frac{4mn}{m^3+n^3}=\frac{m^2-mn+n^2-(m+n)^2+4mn}{m^3+n^3} = {} \\ &= \frac{m^2-mn+n^2-m^2-2mn-n^2+4mn}{m^3+n^3}=\frac{mn}{m^3+n^3}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{2a+6}{a^2-1}\); б) \(-\frac{32}{x(x^2-4)}\); в) \(\frac{x^2+1}{x(x-1)^2}\); г) \(\frac{mn}{m^3+n^3}\).
