Страница 24 номер 1.65, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

а) \(ax-x^2=x(a-x)\) и \(ax+x^2=x(a+x)\), поэтому общий знаменатель — \(x(a-x)(a+x)\); дополнительный множитель первой дроби — \(a+x\), второй — \(a-x\).

\[\begin{aligned} &\frac{a}{ax-x^2}-\frac{a}{ax+x^2}=\frac{a(a+x)-a(a-x)}{x(a-x)(a+x)} = {} \\ &= \frac{a^2+ax-a^2+ax}{x(a^2-x^2)}=\frac{2ax}{x(a^2-x^2)}=\frac{2a}{a^2-x^2}. \end{aligned}\]

б) \(a^2+ab=a(a+b)\) и \(a^2-ab=a(a-b)\), поэтому общий знаменатель — \(a(a+b)(a-b)\); дополнительный множитель первой дроби — \(a-b\), второй — \(a+b\).

\[\begin{aligned} &\frac{a-b}{a^2+ab}-\frac{a+b}{a^2-ab}=\frac{(a-b)^2-(a+b)^2}{a(a+b)(a-b)} = {} \\ &= \frac{a^2-2ab+b^2-a^2-2ab-b^2}{a(a^2-b^2)}=\frac{-4ab}{a(a^2-b^2)} = {} \\ &= \frac{-4b}{a^2-b^2}=\frac{4b}{b^2-a^2}. \end{aligned}\]

в) \(m^2n-mn^2=mn(m-n)\) и \(m^2n+mn^2=mn(m+n)\), поэтому общий знаменатель — \(mn(m-n)(m+n)\); дополнительный множитель первой дроби — \(m+n\), второй — \(m-n\).

\[\begin{aligned} &\frac{m+n}{m^2n-mn^2}-\frac{m-n}{m^2n+mn^2}=\frac{(m+n)^2-(m-n)^2}{mn(m-n)(m+n)} = {} \\ &= \frac{m^2+2mn+n^2-m^2+2mn-n^2}{mn(m^2-n^2)}=\frac{4mn}{mn(m^2-n^2)}=\frac{4}{m^2-n^2}. \end{aligned}\]

г) \(xy-y^2=y(x-y)\) и \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\), поэтому общий знаменатель — \(y(x-y)(x+y)\); дополнительный множитель первой дроби — \(x+y\), второй — \(y\).

\[\begin{aligned} &\frac{x+y}{xy-y^2}-\frac{4x}{x^2-y^2}=\frac{(x+y)^2-4xy}{y(x-y)(x+y)} = {} \\ &= \frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{y(x-y)(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{y(x-y)(x+y)} = {} \\ &= \frac{x-y}{y(x+y)}=\frac{x-y}{xy+y^2}. \end{aligned}\]

Ответ: а) \(\frac{2a}{a^2-x^2}\); б) \(\frac{4b}{b^2-a^2}\); в) \(\frac{4}{m^2-n^2}\); г) \(\frac{x-y}{xy+y^2}\).