Страница 24 номер 1.64, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАССУЖДАЕМ.
а) Найдите дробь, которую надо сложить с дробью \(\frac{c-c^2}{c^3+2c}\), чтобы получить \(\frac{1}{c^2+2}\). Проверьте результат.
б) Найдите дробь, которую надо сложить с дробью \(\frac{3}{x+3}\), чтобы получить \(\frac{3x^2}{x^3+27}\).
Искомая дробь равна разности данной суммы и известного слагаемого.
а) \(c^3+2c=c(c^2+2)\) — общий знаменатель.
\[\begin{aligned} &\frac{1}{c^2+2}-\frac{c-c^2}{c^3+2c}=\frac{c-(c-c^2)}{c(c^2+2)} = {} \\ &= \frac{c-c+c^2}{c(c^2+2)}=\frac{c^2}{c(c^2+2)}=\frac{c}{c^2+2}. \end{aligned}\]
Проверка:
\[\frac{c-c^2}{c^3+2c}+\frac{c}{c^2+2}=\frac{c-c^2+c\cdot c}{c(c^2+2)}=\frac{c}{c(c^2+2)}=\frac{1}{c^2+2}.\]
б) \(x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)\) — общий знаменатель.
\[\begin{aligned} &\frac{3x^2}{x^3+27}-\frac{3}{x+3}=\frac{3x^2-3(x^2-3x+9)}{(x+3)(x^2-3x+9)} = {} \\ &= \frac{3x^2-3x^2+9x-27}{x^3+27}=\frac{9x-27}{x^3+27}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{c}{c^2+2}\); б) \(\frac{9x-27}{x^3+27}\).
РАССУЖДАЕМ.
а) Найдите дробь, которую надо сложить с дробью \(\frac{c-c^2}{c^3+2c}\), чтобы получить \(\frac{1}{c^2+2}\). Проверьте результат.
б) Найдите дробь, которую надо сложить с дробью \(\frac{3}{x+3}\), чтобы получить \(\frac{3x^2}{x^3+27}\).
Неизвестное слагаемое равно разности суммы и известного слагаемого, поэтому искомую дробь находим вычитанием.
а) \(c^3+2c=c(c^2+2)\), поэтому общий знаменатель — \(c(c^2+2)\); дополнительный множитель дроби \(\frac{1}{c^2+2}\) — \(c\).
\[\begin{aligned} &\frac{1}{c^2+2}-\frac{c-c^2}{c^3+2c}=\frac{c-(c-c^2)}{c(c^2+2)} = {} \\ &= \frac{c-c+c^2}{c(c^2+2)}=\frac{c^2}{c(c^2+2)}=\frac{c}{c^2+2}. \end{aligned}\]
Проверка:
\[\frac{c-c^2}{c^3+2c}+\frac{c}{c^2+2}=\frac{c-c^2+c\cdot c}{c(c^2+2)}=\frac{c}{c(c^2+2)}=\frac{1}{c^2+2}.\]
б) По формуле суммы кубов \(x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)\), поэтому общий знаменатель — \(x^3+27\); дополнительный множитель дроби \(\frac{3}{x+3}\) — \(x^2-3x+9\).
\[\begin{aligned} &\frac{3x^2}{x^3+27}-\frac{3}{x+3}=\frac{3x^2-3(x^2-3x+9)}{(x+3)(x^2-3x+9)} = {} \\ &= \frac{3x^2-3x^2+9x-27}{x^3+27}=\frac{9x-27}{x^3+27}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{c}{c^2+2}\); б) \(\frac{9x-27}{x^3+27}\).
