Страница 24 номер 1.63, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

а) \(1-x^2=(1-x)(1+x)\), поэтому общий знаменатель — \(1-x^2\); дополнительный множитель первой дроби — \(1+x\), второй — \(1-x\), а третья дробь уже имеет общий знаменатель.

\[\begin{aligned} &\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}-\frac{2x^2}{1-x^2}=\frac{(1+x)^2+(1-x)^2-2x^2}{(1-x)(1+x)} = {} \\ &= \frac{1+2x+x^2+1-2x+x^2-2x^2}{1-x^2}=\frac{2}{1-x^2}. \end{aligned}\]

б) \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), поэтому общий знаменатель — \(a^2-b^2\); дополнительный множитель первой дроби — \(a-b\), третьей — \(a+b\).

\[\begin{aligned} &\frac{1}{a+b}-\frac{2b}{a^2-b^2}+\frac{1}{a-b}=\frac{(a-b)-2b+(a+b)}{(a+b)(a-b)} = {} \\ &= \frac{a-b-2b+a+b}{(a+b)(a-b)}=\frac{2(a-b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{2}{a+b}. \end{aligned}\]

в) \(y^2+3y=y(y+3)\), поэтому общий знаменатель — \(y(y+3)\); дополнительный множитель второй дроби — \(y+3\), третьей — \(y\).

\[\begin{aligned} &\frac{y-6}{y^2+3y}-\frac{y-3}{y}+\frac{y}{y+3}=\frac{y-6-(y-3)(y+3)+y\cdot y}{y(y+3)} = {} \\ &= \frac{y-6-y^2+9+y^2}{y(y+3)}=\frac{y+3}{y(y+3)}=\frac{1}{y}. \end{aligned}\]

г) \(3a-3b=3(a-b)\), поэтому общий знаменатель — \(3(a-b)\); дополнительный множитель дроби \(\frac{a}{3}\) — \(a-b\), дроби \(\frac{b^2}{a-b}\) — 3.

\[\begin{aligned} &\frac{a(4a-b)}{3a-3b}-\frac{a}{3}-\frac{b^2}{a-b}=\frac{a(4a-b)-a(a-b)-3b^2}{3(a-b)} = {} \\ &= \frac{4a^2-ab-a^2+ab-3b^2}{3(a-b)}=\frac{3a^2-3b^2}{3(a-b)}=\frac{3(a-b)(a+b)}{3(a-b)}=a+b. \end{aligned}\]

Ответ: а) \(\frac{2}{1-x^2}\); б) \(\frac{2}{a+b}\); в) \(\frac{1}{y}\); г) \(a+b\).