Страница 23 номер 1.60, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО.
а) Два восьмиклассника при выполнении самостоятельной работы получили разные ответы на задание: «Представьте выражение \(\frac{a}{b}+a\) в виде дроби». Ответ первого \(\frac{2a}{b}\), ответ второго \(\frac{a+ab}{b}\). Кто из них прав, а кто ошибся и в чём его ошибка?
б) Учитель предложил представить выражение \(\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1\) в виде дроби и упростить полученную дробь. Четверо учащихся начали преобразование по-разному, и каждый уверял, что он прав. Разберитесь, в каких случаях преобразования верные, а в каких нет. Доведите верные решения до конца.
1) \(\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1=\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a}{1}+\frac{1}{1}=\)
2) \(\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1=\frac{15a^2-5a+1}{3a-2}=\)
3) \(\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1=\frac{15a^2}{3a-2}-(5a-1)=\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a-1}{1}=\)
4) \(\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1=\frac{15a^2}{3a-2}-(5a+1)=\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a+1}{1}=\)
а) Прав второй восьмиклассник.
\[\frac{a}{b}+a=\frac{a}{b}+\frac{a}{1}=\frac{a+ab}{b}.\]
Первый восьмиклассник сложил числители, хотя знаменатели слагаемых разные: при \(a=1\) и \(b=2\) значение выражения \(\frac{a}{b}+a\) равно \(\frac{1}{2}+1=1{,}5\), а значение дроби \(\frac{2a}{b}\) равно \(\frac{2}{2}=1\).
б)
1) Верно: знаки слагаемых не изменились. Общий знаменатель — \(3a-2\).
\[\begin{aligned} &\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a}{1}+\frac{1}{1}=\frac{15a^2-5a(3a-2)+(3a-2)}{3a-2} = {} \\ &= \frac{15a^2-15a^2+10a+3a-2}{3a-2}=\frac{13a-2}{3a-2}. \end{aligned}\]
2) Неверно: слагаемые \(-5a\) и 1 приписаны к числителю, но к знаменателю \(3a-2\) не приведены. При \(a=0\) значение исходного выражения равно \(\frac{0}{-2}-0+1=1\), а значение полученной дроби равно \(\frac{0-0+1}{-2}=-0{,}5\).
3) Верно: \(-5a+1=-(5a-1)\), а \((5a-1)(3a-2)=15a^2-10a-3a+2=15a^2-13a+2\).
\[\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a-1}{1}=\frac{15a^2-(15a^2-13a+2)}{3a-2}=\frac{13a-2}{3a-2}.\]
4) Неверно: \(-(5a+1)=-5a-1\), а в исходном выражении стоит \(-5a+1\): при вынесении минуса за скобки забыли изменить знак слагаемого 1.
Ответ: а) прав второй восьмиклассник, \(\frac{a}{b}+a=\frac{a+ab}{b}\); первый сложил числители, не приведя слагаемое \(a\) к знаменателю \(b\); б) верны преобразования 1) и 3), каждое из них даёт дробь \(\frac{13a-2}{3a-2}\); преобразования 2) и 4) неверны: во втором слагаемые \(-5a\) и 1 не приведены к знаменателю \(3a-2\), а в четвёртом \(-(5a+1)=-5a-1\) вместо \(-5a+1\).
ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО.
а) Два восьмиклассника при выполнении самостоятельной работы получили разные ответы на задание: «Представьте выражение \(\frac{a}{b}+a\) в виде дроби». Ответ первого \(\frac{2a}{b}\), ответ второго \(\frac{a+ab}{b}\). Кто из них прав, а кто ошибся и в чём его ошибка?
б) Учитель предложил представить выражение \(\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1\) в виде дроби и упростить полученную дробь. Четверо учащихся начали преобразование по-разному, и каждый уверял, что он прав. Разберитесь, в каких случаях преобразования верные, а в каких нет. Доведите верные решения до конца.
1) \(\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1=\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a}{1}+\frac{1}{1}=\)
2) \(\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1=\frac{15a^2-5a+1}{3a-2}=\)
3) \(\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1=\frac{15a^2}{3a-2}-(5a-1)=\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a-1}{1}=\)
4) \(\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1=\frac{15a^2}{3a-2}-(5a+1)=\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a+1}{1}=\)
а) Прав второй восьмиклассник. Слагаемое \(a\) — это дробь со знаменателем 1. Чтобы выполнить сложение, дробь \(\frac{a}{1}\) приводят к знаменателю \(b\); дополнительный множитель равен \(b\).
\[\frac{a}{b}+a=\frac{a}{b}+\frac{a}{1}=\frac{a+ab}{b}.\]
Первый восьмиклассник прибавил \(a\) прямо к числителю дроби, то есть сложил числители, хотя знаменатели у слагаемых разные. Ошибку видно и из подстановки: при \(a=1\) и \(b=2\) значение выражения \(\frac{a}{b}+a\) равно \(\frac{1}{2}+1=1{,}5\), а значение дроби \(\frac{2a}{b}\) равно \(\frac{2}{2}=1\).
б) Целые слагаемые записывают дробями со знаменателем 1, сохраняя их знаки.
1) Преобразование верное: каждое слагаемое записано дробью со знаменателем 1, знаки слагаемых не изменились. Общий знаменатель — \(3a-2\), дополнительный множитель второго и третьего слагаемых — \(3a-2\).
\[\begin{aligned} &\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a}{1}+\frac{1}{1}=\frac{15a^2-5a(3a-2)+(3a-2)}{3a-2} = {} \\ &= \frac{15a^2-15a^2+10a+3a-2}{3a-2}=\frac{13a-2}{3a-2}. \end{aligned}\]
2) Преобразование неверное: слагаемые \(-5a\) и 1 просто приписаны к числителю, хотя к знаменателю \(3a-2\) они не приведены. При \(a=0\) значение исходного выражения равно \(\frac{0}{-2}-0+1=1\), а значение полученной дроби равно \(\frac{0-0+1}{-2}=-0{,}5\).
3) Преобразование верное: \(-5a+1=-(5a-1)\), и двучлен в скобках записан дробью со знаменателем 1. Дополнительный множитель этой дроби — \(3a-2\), а \((5a-1)(3a-2)=15a^2-10a-3a+2=15a^2-13a+2\).
\[\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a-1}{1}=\frac{15a^2-(15a^2-13a+2)}{3a-2}=\frac{13a-2}{3a-2}.\]
Оба верных преобразования дают одну и ту же дробь; дальнейшее её сокращение невозможно.
4) Преобразование неверное: \(-(5a+1)=-5a-1\), а в исходном выражении стоит \(-5a+1\). При вынесении минуса за скобки забыли изменить знак слагаемого 1.
Ответ: а) прав второй восьмиклассник, \(\frac{a}{b}+a=\frac{a+ab}{b}\); первый сложил числители, не приведя слагаемое \(a\) к знаменателю \(b\); б) верны преобразования 1) и 3), каждое из них даёт дробь \(\frac{13a-2}{3a-2}\); преобразования 2) и 4) неверны: во втором слагаемые \(-5a\) и 1 не приведены к знаменателю \(3a-2\), а в четвёртом \(-(5a+1)=-5a-1\) вместо \(-5a+1\).
