Страница 23 номер 1.59, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение:
а) \(\frac{b}{b-1}-\frac{b-2}{1-b}\);
б) \(\frac{4}{2a-1}+\frac{3-2a}{1-2a}\);
в) \(\frac{2c-5}{a-c}-\frac{c+5}{c-a}\);
г) \(\frac{x^2}{x-3}+\frac{9}{3-x}\);
д) \(\frac{m}{m^2-4}-\frac{2}{4-m^2}\);
е) \(\frac{2x-1}{x-y}+\frac{x-1}{y-x}\).
Подсказка. В каждом случае примените один из способов, рассмотренных в упражнении 1.58, — наиболее удобный для данного случая.
а) \(\frac{b-2}{1-b}=-\frac{b-2}{b-1}\).
\[\frac{b}{b-1}-\frac{b-2}{1-b}=\frac{b}{b-1}+\frac{b-2}{b-1}=\frac{b+b-2}{b-1}=\frac{2(b-1)}{b-1}=2.\]
б) \(\frac{3-2a}{1-2a}=\frac{2a-3}{2a-1}\).
\[\frac{4}{2a-1}+\frac{3-2a}{1-2a}=\frac{4}{2a-1}+\frac{2a-3}{2a-1}=\frac{4+2a-3}{2a-1}=\frac{2a+1}{2a-1}.\]
в) \(\frac{c+5}{c-a}=-\frac{c+5}{a-c}\).
\[\frac{2c-5}{a-c}-\frac{c+5}{c-a}=\frac{2c-5}{a-c}+\frac{c+5}{a-c}=\frac{2c-5+c+5}{a-c}=\frac{3c}{a-c}.\]
г) \(\frac{9}{3-x}=-\frac{9}{x-3}\).
\[\frac{x^2}{x-3}+\frac{9}{3-x}=\frac{x^2}{x-3}-\frac{9}{x-3}=\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.\]
д) \(\frac{2}{4-m^2}=-\frac{2}{m^2-4}\).
\[\frac{m}{m^2-4}-\frac{2}{4-m^2}=\frac{m}{m^2-4}+\frac{2}{m^2-4}=\frac{m+2}{m^2-4}=\frac{m+2}{(m-2)(m+2)}=\frac{1}{m-2}.\]
е) \(\frac{x-1}{y-x}=\frac{1-x}{x-y}\).
\[\frac{2x-1}{x-y}+\frac{x-1}{y-x}=\frac{2x-1}{x-y}+\frac{1-x}{x-y}=\frac{2x-1+1-x}{x-y}=\frac{x}{x-y}.\]
Ответ: а) 2; б) \(\frac{2a+1}{2a-1}\); в) \(\frac{3c}{a-c}\); г) \(x+3\); д) \(\frac{1}{m-2}\); е) \(\frac{x}{x-y}\).
Упростите выражение:
а) \(\frac{b}{b-1}-\frac{b-2}{1-b}\);
б) \(\frac{4}{2a-1}+\frac{3-2a}{1-2a}\);
в) \(\frac{2c-5}{a-c}-\frac{c+5}{c-a}\);
г) \(\frac{x^2}{x-3}+\frac{9}{3-x}\);
д) \(\frac{m}{m^2-4}-\frac{2}{4-m^2}\);
е) \(\frac{2x-1}{x-y}+\frac{x-1}{y-x}\).
Подсказка. В каждом случае примените один из способов, рассмотренных в упражнении 1.58, — наиболее удобный для данного случая.
Знаменатели дробей — противоположные выражения, поэтому в каждом случае достаточно преобразовать одну из дробей, и знаменатель станет общим.
а) \(\frac{b-2}{1-b}=-\frac{b-2}{b-1}\), поэтому вычитание этой дроби заменяется прибавлением дроби \(\frac{b-2}{b-1}\).
\[\frac{b}{b-1}-\frac{b-2}{1-b}=\frac{b}{b-1}+\frac{b-2}{b-1}=\frac{b+b-2}{b-1}=\frac{2(b-1)}{b-1}=2.\]
б) Заменим у второй дроби числитель и знаменатель противоположными выражениями: \(\frac{3-2a}{1-2a}=\frac{2a-3}{2a-1}\).
\[\frac{4}{2a-1}+\frac{3-2a}{1-2a}=\frac{4}{2a-1}+\frac{2a-3}{2a-1}=\frac{4+2a-3}{2a-1}=\frac{2a+1}{2a-1}.\]
в) \(\frac{c+5}{c-a}=-\frac{c+5}{a-c}\), поэтому вычитание этой дроби заменяется прибавлением дроби \(\frac{c+5}{a-c}\).
\[\frac{2c-5}{a-c}-\frac{c+5}{c-a}=\frac{2c-5}{a-c}+\frac{c+5}{a-c}=\frac{2c-5+c+5}{a-c}=\frac{3c}{a-c}.\]
г) \(\frac{9}{3-x}=-\frac{9}{x-3}\).
\[\frac{x^2}{x-3}+\frac{9}{3-x}=\frac{x^2}{x-3}-\frac{9}{x-3}=\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.\]
д) \(\frac{2}{4-m^2}=-\frac{2}{m^2-4}\), поэтому вычитание этой дроби заменяется прибавлением дроби \(\frac{2}{m^2-4}\).
\[\frac{m}{m^2-4}-\frac{2}{4-m^2}=\frac{m}{m^2-4}+\frac{2}{m^2-4}=\frac{m+2}{m^2-4}=\frac{m+2}{(m-2)(m+2)}=\frac{1}{m-2}.\]
е) Заменим у второй дроби числитель и знаменатель противоположными выражениями: \(\frac{x-1}{y-x}=\frac{1-x}{x-y}\).
\[\frac{2x-1}{x-y}+\frac{x-1}{y-x}=\frac{2x-1}{x-y}+\frac{1-x}{x-y}=\frac{2x-1+1-x}{x-y}=\frac{x}{x-y}.\]
Ответ: а) 2; б) \(\frac{2a+1}{2a-1}\); в) \(\frac{3c}{a-c}\); г) \(x+3\); д) \(\frac{1}{m-2}\); е) \(\frac{x}{x-y}\).
