Страницы 22-23 номер 1.58, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ.
1) Замените знаменатель одной из дробей противоположным выражением и поменяйте знак перед этой дробью. Упростите получившееся выражение:
а) \(\frac{2x}{x-y}+\frac{2y}{y-x}\);
б) \(\frac{a+b}{b-a}+\frac{a+2b}{a-b}\);
в) \(\frac{m+n}{m-n}-\frac{n}{n-m}\);
г) \(\frac{a-1}{a-2}-\frac{a+1}{2-a}\).
Образец. а) \(\frac{2x}{x-y}+\frac{2y}{y-x}=\frac{2x}{x-y}-\frac{2y}{x-y}=\ldots\) .
Доведите преобразование до конца.
2) Приведите дроби к общему знаменателю, заменив у одной из них числитель и знаменатель на противоположные выражения, а затем выполните действие:
а) \(\frac{3b-a}{b-a}+\frac{4b}{a-b}\);
б) \(\frac{2y+x}{x-1}+\frac{x-3y}{1-x}\);
в) \(\frac{1-x}{x-y}+\frac{1-6x}{y-x}\);
г) \(\frac{2m}{m-n}+\frac{3n-m}{n-m}\).
Образец. а) \(\frac{3b-a}{b-a}+\frac{4b}{a-b}=\frac{a-3b}{a-b}+\frac{4b}{a-b}=\ldots\) .
Доведите преобразование до конца.
1)
а) \(\frac{2y}{y-x}=-\frac{2y}{x-y}\).
\[\frac{2x}{x-y}+\frac{2y}{y-x}=\frac{2x}{x-y}-\frac{2y}{x-y}=\frac{2x-2y}{x-y}=\frac{2(x-y)}{x-y}=2.\]
б) \(\frac{a+b}{b-a}=-\frac{a+b}{a-b}\).
\[\begin{aligned} &\frac{a+b}{b-a}+\frac{a+2b}{a-b}=-\frac{a+b}{a-b}+\frac{a+2b}{a-b} = {} \\ &= \frac{-(a+b)+(a+2b)}{a-b}=\frac{-a-b+a+2b}{a-b}=\frac{b}{a-b}. \end{aligned}\]
в) \(\frac{n}{n-m}=-\frac{n}{m-n}\).
\[\frac{m+n}{m-n}-\frac{n}{n-m}=\frac{m+n}{m-n}+\frac{n}{m-n}=\frac{m+n+n}{m-n}=\frac{m+2n}{m-n}.\]
г) \(\frac{a+1}{2-a}=-\frac{a+1}{a-2}\).
\[\frac{a-1}{a-2}-\frac{a+1}{2-a}=\frac{a-1}{a-2}+\frac{a+1}{a-2}=\frac{a-1+a+1}{a-2}=\frac{2a}{a-2}.\]
2)
а) \(\frac{3b-a}{b-a}=\frac{a-3b}{a-b}\).
\[\frac{3b-a}{b-a}+\frac{4b}{a-b}=\frac{a-3b}{a-b}+\frac{4b}{a-b}=\frac{a-3b+4b}{a-b}=\frac{a+b}{a-b}.\]
б) \(\frac{x-3y}{1-x}=\frac{3y-x}{x-1}\).
\[\frac{2y+x}{x-1}+\frac{x-3y}{1-x}=\frac{2y+x}{x-1}+\frac{3y-x}{x-1}=\frac{2y+x+3y-x}{x-1}=\frac{5y}{x-1}.\]
в) \(\frac{1-6x}{y-x}=\frac{6x-1}{x-y}\).
\[\frac{1-x}{x-y}+\frac{1-6x}{y-x}=\frac{1-x}{x-y}+\frac{6x-1}{x-y}=\frac{1-x+6x-1}{x-y}=\frac{5x}{x-y}.\]
г) \(\frac{3n-m}{n-m}=\frac{m-3n}{m-n}\).
\[\begin{aligned} &\frac{2m}{m-n}+\frac{3n-m}{n-m}=\frac{2m}{m-n}+\frac{m-3n}{m-n} = {} \\ &= \frac{2m+m-3n}{m-n}=\frac{3(m-n)}{m-n}=3. \end{aligned}\]
Ответ: 1) а) 2; б) \(\frac{b}{a-b}\); в) \(\frac{m+2n}{m-n}\); г) \(\frac{2a}{a-2}\); 2) а) \(\frac{a+b}{a-b}\); б) \(\frac{5y}{x-1}\); в) \(\frac{5x}{x-y}\); г) 3.
РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ.
1) Замените знаменатель одной из дробей противоположным выражением и поменяйте знак перед этой дробью. Упростите получившееся выражение:
а) \(\frac{2x}{x-y}+\frac{2y}{y-x}\);
б) \(\frac{a+b}{b-a}+\frac{a+2b}{a-b}\);
в) \(\frac{m+n}{m-n}-\frac{n}{n-m}\);
г) \(\frac{a-1}{a-2}-\frac{a+1}{2-a}\).
Образец. а) \(\frac{2x}{x-y}+\frac{2y}{y-x}=\frac{2x}{x-y}-\frac{2y}{x-y}=\ldots\) .
Доведите преобразование до конца.
2) Приведите дроби к общему знаменателю, заменив у одной из них числитель и знаменатель на противоположные выражения, а затем выполните действие:
а) \(\frac{3b-a}{b-a}+\frac{4b}{a-b}\);
б) \(\frac{2y+x}{x-1}+\frac{x-3y}{1-x}\);
в) \(\frac{1-x}{x-y}+\frac{1-6x}{y-x}\);
г) \(\frac{2m}{m-n}+\frac{3n-m}{n-m}\).
Образец. а) \(\frac{3b-a}{b-a}+\frac{4b}{a-b}=\frac{a-3b}{a-b}+\frac{4b}{a-b}=\ldots\) .
Доведите преобразование до конца.
1) Дробь не меняется, если её знаменатель заменить противоположным выражением и одновременно поставить перед дробью знак минус.
а) \(\frac{2y}{y-x}=-\frac{2y}{x-y}\), поэтому прибавление этой дроби заменяется вычитанием дроби \(\frac{2y}{x-y}\).
\[\frac{2x}{x-y}+\frac{2y}{y-x}=\frac{2x}{x-y}-\frac{2y}{x-y}=\frac{2x-2y}{x-y}=\frac{2(x-y)}{x-y}=2.\]
б) \(\frac{a+b}{b-a}=-\frac{a+b}{a-b}\).
\[\begin{aligned} &\frac{a+b}{b-a}+\frac{a+2b}{a-b}=-\frac{a+b}{a-b}+\frac{a+2b}{a-b} = {} \\ &= \frac{-(a+b)+(a+2b)}{a-b}=\frac{-a-b+a+2b}{a-b}=\frac{b}{a-b}. \end{aligned}\]
в) \(\frac{n}{n-m}=-\frac{n}{m-n}\), поэтому вычитание этой дроби заменяется прибавлением дроби \(\frac{n}{m-n}\).
\[\frac{m+n}{m-n}-\frac{n}{n-m}=\frac{m+n}{m-n}+\frac{n}{m-n}=\frac{m+n+n}{m-n}=\frac{m+2n}{m-n}.\]
г) \(\frac{a+1}{2-a}=-\frac{a+1}{a-2}\), поэтому вычитание этой дроби заменяется прибавлением дроби \(\frac{a+1}{a-2}\).
\[\frac{a-1}{a-2}-\frac{a+1}{2-a}=\frac{a-1}{a-2}+\frac{a+1}{a-2}=\frac{a-1+a+1}{a-2}=\frac{2a}{a-2}.\]
2) Дробь не меняется, если её числитель и знаменатель заменить противоположными выражениями.
а) \(\frac{3b-a}{b-a}=\frac{a-3b}{a-b}\).
\[\frac{3b-a}{b-a}+\frac{4b}{a-b}=\frac{a-3b}{a-b}+\frac{4b}{a-b}=\frac{a-3b+4b}{a-b}=\frac{a+b}{a-b}.\]
б) \(\frac{x-3y}{1-x}=\frac{3y-x}{x-1}\).
\[\frac{2y+x}{x-1}+\frac{x-3y}{1-x}=\frac{2y+x}{x-1}+\frac{3y-x}{x-1}=\frac{2y+x+3y-x}{x-1}=\frac{5y}{x-1}.\]
в) \(\frac{1-6x}{y-x}=\frac{6x-1}{x-y}\).
\[\frac{1-x}{x-y}+\frac{1-6x}{y-x}=\frac{1-x}{x-y}+\frac{6x-1}{x-y}=\frac{1-x+6x-1}{x-y}=\frac{5x}{x-y}.\]
г) \(\frac{3n-m}{n-m}=\frac{m-3n}{m-n}\).
\[\begin{aligned} &\frac{2m}{m-n}+\frac{3n-m}{n-m}=\frac{2m}{m-n}+\frac{m-3n}{m-n} = {} \\ &= \frac{2m+m-3n}{m-n}=\frac{3(m-n)}{m-n}=3. \end{aligned}\]
Ответ: 1) а) 2; б) \(\frac{b}{a-b}\); в) \(\frac{m+2n}{m-n}\); г) \(\frac{2a}{a-2}\); 2) а) \(\frac{a+b}{a-b}\); б) \(\frac{5y}{x-1}\); в) \(\frac{5x}{x-y}\); г) 3.
