Страница 22 номер 1.57, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

Подставлять данные значения удобнее в упрощённое выражение.

а) \(x^2-5x=x(x-5)\), общий знаменатель — \(x(x-5)\); дополнительный множитель первой дроби — \(x-5\).

\[\frac{4}{x}+\frac{20}{x^2-5x}=\frac{4(x-5)+20}{x(x-5)}=\frac{4x-20+20}{x(x-5)}=\frac{4x}{x(x-5)}=\frac{4}{x-5}.\]

При \(x=-19\) получаем \(\frac{4}{-19-5}=\frac{4}{-24}=-\frac{1}{6}\).

б) \(mn-m^2=m(n-m)\), общий знаменатель — \(m(n-m)\); дополнительный множитель второй дроби — \(m\).

\[\begin{aligned} &\frac{n^2}{mn-m^2}-\frac{m}{n-m}=\frac{n^2-m\cdot m}{m(n-m)} = {} \\ &= \frac{n^2-m^2}{m(n-m)}=\frac{(n-m)(n+m)}{m(n-m)}=\frac{n+m}{m}. \end{aligned}\]

При \(m=-0{,}5\) и \(n=2{,}5\) получаем \(\frac{2{,}5+(-0{,}5)}{-0{,}5}=\frac{2}{-0{,}5}=-4\).

в) \(a^2-ac=a(a-c)\), общий знаменатель — \(a(a-c)\); дополнительный множитель первой дроби — \(a\).

\[\begin{aligned} &\frac{a}{a-c}-\frac{2ac-c^2}{a^2-ac}=\frac{a^2-(2ac-c^2)}{a(a-c)} = {} \\ &= \frac{a^2-2ac+c^2}{a(a-c)}=\frac{(a-c)^2}{a(a-c)}=\frac{a-c}{a}. \end{aligned}\]

При \(a=-100\) и \(c=-85\) получаем \(\frac{-100-(-85)}{-100}=\frac{-15}{-100}=0{,}15\).

г) \(y^2-2y=y(y-2)\), общий знаменатель — \(y(y-2)\); дополнительный множитель второй дроби — \(y\).

\[\frac{y^2+4}{y^2-2y}-\frac{2}{y-2}=\frac{y^2+4-2y}{y(y-2)}=\frac{y^2-2y+4}{y(y-2)}.\]

Дальнейшее сокращение дроби невозможно.

При \(y=\frac{1}{6}\) числитель дроби равен \(\left(\frac{1}{6}\right)^2-2\cdot\frac{1}{6}+4=\frac{133}{36}\), а знаменатель равен \(\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{6}-2\right)=-\frac{11}{36}\).

Дробная черта заменяет знак деления, поэтому значение выражения равно \(\frac{133}{36}:\left(-\frac{11}{36}\right)=-\frac{133}{11}=-12\frac{1}{11}\).

Заметим, что в условии, по-видимому, опечатка: если бы в числителе второй дроби стояло 4, то после приведения к общему знаменателю числитель был бы равен \(y^2-4y+4=(y-2)^2\), дробь сократилась бы до \(\frac{y-2}{y}\), и при \(y=\frac{1}{6}\) получилось бы ровно \(-11\). Здесь задание решено так, как оно напечатано.

д) \(a^2+ab=a(a+b)\) и \(b^2+ab=b(a+b)\), общий знаменатель — \(ab(a+b)\); дополнительный множитель первой дроби — \(b\), второй — \(a\).

\[\frac{2}{a^2+ab}+\frac{2}{b^2+ab}=\frac{2b+2a}{ab(a+b)}=\frac{2(a+b)}{ab(a+b)}=\frac{2}{ab}.\]

При \(a=0{,}25\) и \(b=4\) получаем \(\frac{2}{0{,}25\cdot 4}=\frac{2}{1}=2\).

е) \(xy-x^2=x(y-x)\) и \(y^2-xy=y(y-x)\), общий знаменатель — \(xy(y-x)\); дополнительный множитель первой дроби — \(y\), второй — \(x\).

\[\frac{1}{xy-x^2}-\frac{1}{y^2-xy}=\frac{y-x}{xy(y-x)}=\frac{1}{xy}.\]

При \(x=-0{,}17\) и \(y=100\) получаем \(\frac{1}{-0{,}17\cdot 100}=\frac{1}{-17}=-\frac{1}{17}\).

Ответ: а) \(-\frac{1}{6}\); б) \(-4\); в) \(0{,}15\); г) \(-12\frac{1}{11}\); д) 2; е) \(-\frac{1}{17}\).