Страница 22 номер 1.56, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение (1.54—1.56).
а) \(\frac{2a}{a^2-b^2}-\frac{2}{a+b}\);
б) \(\frac{c^2+25}{c^2-25}-\frac{c}{c+5}\);
в) \(\frac{2}{3a+2}+\frac{8}{9a^2-4}\);
г) \(\frac{y^2}{y^2-2y+1}-\frac{y}{y-1}\);
д) \(\frac{a+b}{a-b}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\);
е) \(\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}-\frac{m-n}{m+n}\).
а) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) — общий знаменатель.
\[\frac{2a}{a^2-b^2}-\frac{2}{a+b}=\frac{2a-2(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{2a-2a+2b}{(a-b)(a+b)}=\frac{2b}{a^2-b^2}.\]
б) \(c^2-25=(c-5)(c+5)\) — общий знаменатель.
\[\begin{aligned} &\frac{c^2+25}{c^2-25}-\frac{c}{c+5}=\frac{c^2+25-c(c-5)}{(c-5)(c+5)} = {} \\ &= \frac{c^2+25-c^2+5c}{(c-5)(c+5)}=\frac{5(c+5)}{(c-5)(c+5)}=\frac{5}{c-5}. \end{aligned}\]
в) \(9a^2-4=(3a-2)(3a+2)\) — общий знаменатель.
\[\begin{aligned} &\frac{2}{3a+2}+\frac{8}{9a^2-4}=\frac{2(3a-2)+8}{(3a-2)(3a+2)} = {} \\ &= \frac{6a-4+8}{(3a-2)(3a+2)}=\frac{2(3a+2)}{(3a-2)(3a+2)}=\frac{2}{3a-2}. \end{aligned}\]
г) \(y^2-2y+1=(y-1)^2\) — общий знаменатель.
\[\frac{y^2}{y^2-2y+1}-\frac{y}{y-1}=\frac{y^2-y(y-1)}{(y-1)^2}=\frac{y^2-y^2+y}{(y-1)^2}=\frac{y}{(y-1)^2}.\]
д) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) — общий знаменатель.
\[\frac{a+b}{a-b}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{a^2-b^2}=\frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a^2-b^2}=\frac{2ab}{a^2-b^2}.\]
е) \(m^2-n^2=(m-n)(m+n)\) — общий знаменатель.
\[\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}-\frac{m-n}{m+n}=\frac{m^2+n^2-(m-n)^2}{m^2-n^2}=\frac{m^2+n^2-m^2+2mn-n^2}{m^2-n^2}=\frac{2mn}{m^2-n^2}.\]
Ответ: а) \(\frac{2b}{a^2-b^2}\); б) \(\frac{5}{c-5}\); в) \(\frac{2}{3a-2}\); г) \(\frac{y}{(y-1)^2}\); д) \(\frac{2ab}{a^2-b^2}\); е) \(\frac{2mn}{m^2-n^2}\).
Упростите выражение (1.54—1.56).
а) \(\frac{2a}{a^2-b^2}-\frac{2}{a+b}\);
б) \(\frac{c^2+25}{c^2-25}-\frac{c}{c+5}\);
в) \(\frac{2}{3a+2}+\frac{8}{9a^2-4}\);
г) \(\frac{y^2}{y^2-2y+1}-\frac{y}{y-1}\);
д) \(\frac{a+b}{a-b}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\);
е) \(\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}-\frac{m-n}{m+n}\).
Разложим знаменатели на множители и приведём дроби к общему знаменателю. Числитель вычитаемой дроби записываем в скобках: знак минус относится ко всему числителю.
а) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), поэтому общий знаменатель — \((a-b)(a+b)\); дополнительный множитель второй дроби — \(a-b\).
\[\frac{2a}{a^2-b^2}-\frac{2}{a+b}=\frac{2a-2(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{2a-2a+2b}{(a-b)(a+b)}=\frac{2b}{a^2-b^2}.\]
б) \(c^2-25=(c-5)(c+5)\), поэтому общий знаменатель — \((c-5)(c+5)\); дополнительный множитель второй дроби — \(c-5\).
\[\begin{aligned} &\frac{c^2+25}{c^2-25}-\frac{c}{c+5}=\frac{c^2+25-c(c-5)}{(c-5)(c+5)} = {} \\ &= \frac{c^2+25-c^2+5c}{(c-5)(c+5)}=\frac{5(c+5)}{(c-5)(c+5)}=\frac{5}{c-5}. \end{aligned}\]
в) \(9a^2-4=(3a-2)(3a+2)\), поэтому общий знаменатель — \((3a-2)(3a+2)\); дополнительный множитель первой дроби — \(3a-2\).
\[\begin{aligned} &\frac{2}{3a+2}+\frac{8}{9a^2-4}=\frac{2(3a-2)+8}{(3a-2)(3a+2)} = {} \\ &= \frac{6a-4+8}{(3a-2)(3a+2)}=\frac{2(3a+2)}{(3a-2)(3a+2)}=\frac{2}{3a-2}. \end{aligned}\]
г) \(y^2-2y+1=(y-1)^2\), поэтому общий знаменатель — \((y-1)^2\); дополнительный множитель второй дроби — \(y-1\).
\[\frac{y^2}{y^2-2y+1}-\frac{y}{y-1}=\frac{y^2-y(y-1)}{(y-1)^2}=\frac{y^2-y^2+y}{(y-1)^2}=\frac{y}{(y-1)^2}.\]
д) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), поэтому общий знаменатель — \(a^2-b^2\); дополнительный множитель первой дроби — \(a+b\).
\[\frac{a+b}{a-b}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{a^2-b^2}=\frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a^2-b^2}=\frac{2ab}{a^2-b^2}.\]
е) \(m^2-n^2=(m-n)(m+n)\), поэтому общий знаменатель — \(m^2-n^2\); дополнительный множитель второй дроби — \(m-n\).
\[\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}-\frac{m-n}{m+n}=\frac{m^2+n^2-(m-n)^2}{m^2-n^2}=\frac{m^2+n^2-m^2+2mn-n^2}{m^2-n^2}=\frac{2mn}{m^2-n^2}.\]
Ответ: а) \(\frac{2b}{a^2-b^2}\); б) \(\frac{5}{c-5}\); в) \(\frac{2}{3a-2}\); г) \(\frac{y}{(y-1)^2}\); д) \(\frac{2ab}{a^2-b^2}\); е) \(\frac{2mn}{m^2-n^2}\).
