Страница 21 номер 1.55, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение (1.54—1.56).
а) \(\frac{2a}{3a+3}+\frac{5a}{6a+6}\);
б) \(\frac{m}{4m-4}-\frac{m}{12m-12}\);
в) \(\frac{x}{2x-2y}+\frac{3x}{8x-8y}\);
г) \(\frac{4p}{9p+9q}-\frac{p}{3p+3q}\);
д) \(\frac{x}{ax+ay}+\frac{y}{by+bx}\);
е) \(\frac{a}{cb-cd}-\frac{c}{ab-ad}\).
а) \(3a+3 = 3(a+1)\), \(6a+6 = 6(a+1)\); общий знаменатель — \(6(a+1)\), дополнительный множитель первой дроби — 2:
\[\frac{2a}{3a+3}+\frac{5a}{6a+6} = \frac{4a+5a}{6(a+1)} = \frac{9a}{6(a+1)} = \frac{3a}{2(a+1)}.\]
б) \(4m-4 = 4(m-1)\), \(12m-12 = 12(m-1)\); общий знаменатель — \(12(m-1)\), дополнительный множитель первой дроби — 3:
\[\frac{m}{4m-4}-\frac{m}{12m-12} = \frac{3m-m}{12(m-1)} = \frac{2m}{12(m-1)} = \frac{m}{6(m-1)}.\]
в) \(2x-2y = 2(x-y)\), \(8x-8y = 8(x-y)\); общий знаменатель — \(8(x-y)\), дополнительный множитель первой дроби — 4:
\[\frac{x}{2x-2y}+\frac{3x}{8x-8y} = \frac{4x+3x}{8(x-y)} = \frac{7x}{8(x-y)}.\]
г) \(9p+9q = 9(p+q)\), \(3p+3q = 3(p+q)\); общий знаменатель — \(9(p+q)\), дополнительный множитель второй дроби — 3:
\[\frac{4p}{9p+9q}-\frac{p}{3p+3q} = \frac{4p-3p}{9(p+q)} = \frac{p}{9(p+q)}.\]
д) \(ax+ay = a(x+y)\), \(by+bx = b(x+y)\); множитель \(x+y\) общий, поэтому общий знаменатель — \(ab(x+y)\), дополнительные множители — \(b\) и \(a\):
\[\frac{x}{ax+ay}+\frac{y}{by+bx} = \frac{bx+ay}{ab(x+y)}.\]
е) \(cb-cd = c(b-d)\), \(ab-ad = a(b-d)\); общий знаменатель — \(ac(b-d)\), дополнительные множители — \(a\) и \(c\):
\[\frac{a}{cb-cd}-\frac{c}{ab-ad} = \frac{a \cdot a-c \cdot c}{ac(b-d)} = \frac{a^2-c^2}{ac(b-d)}.\]
Ответ: а) \(\frac{3a}{2(a+1)}\); б) \(\frac{m}{6(m-1)}\); в) \(\frac{7x}{8(x-y)}\); г) \(\frac{p}{9(p+q)}\); д) \(\frac{bx+ay}{ab(x+y)}\); е) \(\frac{a^2-c^2}{ac(b-d)}\).
Упростите выражение (1.54—1.56).
а) \(\frac{2a}{3a+3}+\frac{5a}{6a+6}\);
б) \(\frac{m}{4m-4}-\frac{m}{12m-12}\);
в) \(\frac{x}{2x-2y}+\frac{3x}{8x-8y}\);
г) \(\frac{4p}{9p+9q}-\frac{p}{3p+3q}\);
д) \(\frac{x}{ax+ay}+\frac{y}{by+bx}\);
е) \(\frac{a}{cb-cd}-\frac{c}{ab-ad}\).
В каждом пункте знаменатели раскладываем на множители — после этого виден самый простой общий знаменатель.
а) \(3a+3 = 3(a+1)\), \(6a+6 = 6(a+1)\). Выражение \(6(a+1)\) делится на оба знаменателя, поэтому оно и есть общий знаменатель; дополнительный множитель первой дроби — 2:
\[\frac{2a}{3a+3}+\frac{5a}{6a+6} = \frac{4a+5a}{6(a+1)} = \frac{9a}{6(a+1)} = \frac{3a}{2(a+1)}.\]
б) \(4m-4 = 4(m-1)\), \(12m-12 = 12(m-1)\); общий знаменатель — \(12(m-1)\), дополнительный множитель первой дроби — 3:
\[\frac{m}{4m-4}-\frac{m}{12m-12} = \frac{3m-m}{12(m-1)} = \frac{2m}{12(m-1)} = \frac{m}{6(m-1)}.\]
в) \(2x-2y = 2(x-y)\), \(8x-8y = 8(x-y)\); общий знаменатель — \(8(x-y)\), дополнительный множитель первой дроби — 4:
\[\frac{x}{2x-2y}+\frac{3x}{8x-8y} = \frac{4x+3x}{8(x-y)} = \frac{7x}{8(x-y)}.\]
г) \(9p+9q = 9(p+q)\), \(3p+3q = 3(p+q)\); общий знаменатель — \(9(p+q)\), дополнительный множитель второй дроби — 3:
\[\frac{4p}{9p+9q}-\frac{p}{3p+3q} = \frac{4p-3p}{9(p+q)} = \frac{p}{9(p+q)}.\]
д) \(ax+ay = a(x+y)\), \(by+bx = b(x+y)\); множитель \(x+y\) у знаменателей общий, поэтому общий знаменатель — \(ab(x+y)\); дополнительные множители — \(b\) и \(a\):
\[\frac{x}{ax+ay}+\frac{y}{by+bx} = \frac{bx+ay}{ab(x+y)}.\]
е) \(cb-cd = c(b-d)\), \(ab-ad = a(b-d)\); общий знаменатель — \(ac(b-d)\); дополнительные множители — \(a\) и \(c\):
\[\frac{a}{cb-cd}-\frac{c}{ab-ad} = \frac{a \cdot a-c \cdot c}{ac(b-d)} = \frac{a^2-c^2}{ac(b-d)}.\]
Ответ: а) \(\frac{3a}{2(a+1)}\); б) \(\frac{m}{6(m-1)}\); в) \(\frac{7x}{8(x-y)}\); г) \(\frac{p}{9(p+q)}\); д) \(\frac{bx+ay}{ab(x+y)}\); е) \(\frac{a^2-c^2}{ac(b-d)}\).
