Страница 21 номер 1.54, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Упростите выражение (1.54—1.56).
а) \(\frac{4b}{3(b+3)}+\frac{4}{b+3}\);
б) \(\frac{x}{4(x-1)}-\frac{x}{6(x-1)}\);
в) \(\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)}\);
г) \(\frac{3x}{y(x+y)}-\frac{3y}{x(x+y)}\).
а) Общий знаменатель — \(3(b+3)\); дополнительный множитель второй дроби — 3:
\[\frac{4b}{3(b+3)}+\frac{4}{b+3} = \frac{4b+12}{3(b+3)} = \frac{4(b+3)}{3(b+3)} = \frac{4}{3}.\]
б) Общий знаменатель — \(12(x-1)\); дополнительные множители — 3 и 2:
\[\frac{x}{4(x-1)}-\frac{x}{6(x-1)} = \frac{3x-2x}{12(x-1)} = \frac{x}{12(x-1)}.\]
в) Общий знаменатель — \(ab(a+b)\); дополнительные множители — \(b\) и \(a\):
\[\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)} = \frac{b+a}{ab(a+b)} = \frac{a+b}{ab(a+b)} = \frac{1}{ab}.\]
г) Общий знаменатель — \(xy(x+y)\); дополнительные множители — \(x\) и \(y\):
\[\begin{aligned} &\frac{3x}{y(x+y)}-\frac{3y}{x(x+y)} = \frac{3x^2-3y^2}{xy(x+y)} = {} \\ &= \frac{3(x-y)(x+y)}{xy(x+y)} = \frac{3(x-y)}{xy} = \frac{3x-3y}{xy}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{4}{3}\); б) \(\frac{x}{12(x-1)}\); в) \(\frac{1}{ab}\); г) \(\frac{3x-3y}{xy}\).
Упростите выражение (1.54—1.56).
а) \(\frac{4b}{3(b+3)}+\frac{4}{b+3}\);
б) \(\frac{x}{4(x-1)}-\frac{x}{6(x-1)}\);
в) \(\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)}\);
г) \(\frac{3x}{y(x+y)}-\frac{3y}{x(x+y)}\).
а) Знаменатель \(3(b+3)\) делится на \(b+3\), поэтому он и есть общий знаменатель; дополнительный множитель второй дроби — 3:
\[\frac{4b}{3(b+3)}+\frac{4}{b+3} = \frac{4b+12}{3(b+3)} = \frac{4(b+3)}{3(b+3)} = \frac{4}{3}.\]
б) Наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 равно 12, поэтому общий знаменатель — \(12(x-1)\); дополнительные множители — 3 и 2:
\[\frac{x}{4(x-1)}-\frac{x}{6(x-1)} = \frac{3x-2x}{12(x-1)} = \frac{x}{12(x-1)}.\]
в) Множитель \(a+b\) у знаменателей общий, поэтому общий знаменатель — \(ab(a+b)\); дополнительные множители — \(b\) и \(a\):
\[\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)} = \frac{b+a}{ab(a+b)} = \frac{a+b}{ab(a+b)} = \frac{1}{ab}.\]
г) Общий знаменатель — \(xy(x+y)\); дополнительные множители — \(x\) и \(y\):
\[\begin{aligned} &\frac{3x}{y(x+y)}-\frac{3y}{x(x+y)} = \frac{3x^2-3y^2}{xy(x+y)} = {} \\ &= \frac{3(x-y)(x+y)}{xy(x+y)} = \frac{3(x-y)}{xy} = \frac{3x-3y}{xy}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{4}{3}\); б) \(\frac{x}{12(x-1)}\); в) \(\frac{1}{ab}\); г) \(\frac{3x-3y}{xy}\).
