Страница 21 номер 1.53, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Выполните действия; в качестве образца используйте пример 3 из текста (1.52—1.53).
а) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}\);
б) \(\frac{1}{b^3}-\frac{2}{b^2}+\frac{1}{b}\);
в) \(\frac{x+y}{xy}-\frac{x+z}{xz}+\frac{y+z}{yz}\);
г) \(\frac{3x+1}{3x}-\frac{2y+1}{2y}+\frac{3x-y}{6xy}\).
а) Общий знаменатель — \(xy\); дополнительные множители — \(y\), \(x\) и 1:
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy} = \frac{y+x+1}{xy} = \frac{x+y+1}{xy}.\]
б) Общий знаменатель — \(b^3\); дополнительные множители — 1, \(b\) и \(b^2\):
\[\frac{1}{b^3}-\frac{2}{b^2}+\frac{1}{b} = \frac{1-2b+b^2}{b^3} = \frac{(b-1)^2}{b^3}.\]
в) Общий знаменатель — \(xyz\); дополнительные множители — \(z\), \(y\) и \(x\):
\[\begin{aligned} &\frac{x+y}{xy}-\frac{x+z}{xz}+\frac{y+z}{yz} = \frac{z(x+y)-y(x+z)+x(y+z)}{xyz} = {} \\ &= \frac{xz+yz-xy-yz+xy+xz}{xyz} = \frac{2xz}{xyz} = \frac{2}{y}. \end{aligned}\]
г) Общий знаменатель — \(6xy\); дополнительные множители — \(2y\), \(3x\) и 1:
\[\begin{aligned} &\frac{3x+1}{3x}-\frac{2y+1}{2y}+\frac{3x-y}{6xy} = \frac{2y(3x+1)-3x(2y+1)+(3x-y)}{6xy} = {} \\ &= \frac{6xy+2y-6xy-3x+3x-y}{6xy} = \frac{y}{6xy} = \frac{1}{6x}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{x+y+1}{xy}\); б) \(\frac{(b-1)^2}{b^3}\); в) \(\frac{2}{y}\); г) \(\frac{1}{6x}\).
Выполните действия; в качестве образца используйте пример 3 из текста (1.52—1.53).
а) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}\);
б) \(\frac{1}{b^3}-\frac{2}{b^2}+\frac{1}{b}\);
в) \(\frac{x+y}{xy}-\frac{x+z}{xz}+\frac{y+z}{yz}\);
г) \(\frac{3x+1}{3x}-\frac{2y+1}{2y}+\frac{3x-y}{6xy}\).
Общий знаменатель берём самый простой: коэффициент — наименьшее общее кратное коэффициентов знаменателей, каждая переменная — в наибольшей из встречающихся степеней.
а) Общий знаменатель — \(xy\); дополнительные множители — \(y\), \(x\) и 1:
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy} = \frac{y+x+1}{xy} = \frac{x+y+1}{xy}.\]
б) Общий знаменатель — \(b^3\); дополнительные множители — 1, \(b\) и \(b^2\):
\[\frac{1}{b^3}-\frac{2}{b^2}+\frac{1}{b} = \frac{1-2b+b^2}{b^3} = \frac{(b-1)^2}{b^3}.\]
в) Общий знаменатель — \(xyz\); дополнительные множители — \(z\), \(y\) и \(x\):
\[\begin{aligned} &\frac{x+y}{xy}-\frac{x+z}{xz}+\frac{y+z}{yz} = \frac{z(x+y)-y(x+z)+x(y+z)}{xyz} = {} \\ &= \frac{xz+yz-xy-yz+xy+xz}{xyz} = \frac{2xz}{xyz} = \frac{2}{y}. \end{aligned}\]
г) Общий знаменатель — \(6xy\); дополнительные множители — \(2y\), \(3x\) и 1:
\[\begin{aligned} &\frac{3x+1}{3x}-\frac{2y+1}{2y}+\frac{3x-y}{6xy} = \frac{2y(3x+1)-3x(2y+1)+(3x-y)}{6xy} = {} \\ &= \frac{6xy+2y-6xy-3x+3x-y}{6xy} = \frac{y}{6xy} = \frac{1}{6x}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{x+y+1}{xy}\); б) \(\frac{(b-1)^2}{b^3}\); в) \(\frac{2}{y}\); г) \(\frac{1}{6x}\).
