Страница 21 номер 1.51, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Найдите сумму и разность дробей:
а) \(\frac{1}{a-b}\) и \(\frac{1}{a+b}\);
б) \(\frac{a+1}{a-1}\) и \(\frac{a-1}{a+1}\);
в) \(\frac{p-q}{p+q}\) и \(\frac{p+q}{p-q}\);
г) \(\frac{m}{m+4}\) и \(\frac{m}{m-4}\).
а) Общий знаменатель — \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\); дополнительные множители — \(a+b\) и \(a-b\):
\[\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b} = \frac{(a+b)+(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b+a-b}{a^2-b^2} = \frac{2a}{a^2-b^2};\]
\[\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b} = \frac{(a+b)-(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b-a+b}{a^2-b^2} = \frac{2b}{a^2-b^2}.\]
б) Общий знаменатель — \((a-1)(a+1) = a^2-1\); дополнительные множители — \(a+1\) и \(a-1\):
\[\begin{aligned} &\frac{a+1}{a-1}+\frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)^2+(a-1)^2}{a^2-1} = {} \\ &= \frac{a^2+2a+1+a^2-2a+1}{a^2-1} = \frac{2a^2+2}{a^2-1}; \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\frac{a+1}{a-1}-\frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)^2-(a-1)^2}{a^2-1} = {} \\ &= \frac{a^2+2a+1-a^2+2a-1}{a^2-1} = \frac{4a}{a^2-1}. \end{aligned}\]
в) Общий знаменатель — \((p+q)(p-q) = p^2-q^2\); дополнительные множители — \(p-q\) и \(p+q\):
\[\begin{aligned} &\frac{p-q}{p+q}+\frac{p+q}{p-q} = \frac{(p-q)^2+(p+q)^2}{p^2-q^2} = {} \\ &= \frac{p^2-2pq+q^2+p^2+2pq+q^2}{p^2-q^2} = \frac{2p^2+2q^2}{p^2-q^2}; \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\frac{p-q}{p+q}-\frac{p+q}{p-q} = \frac{(p-q)^2-(p+q)^2}{p^2-q^2} = {} \\ &= \frac{p^2-2pq+q^2-p^2-2pq-q^2}{p^2-q^2} = \frac{-4pq}{p^2-q^2} = \frac{4pq}{q^2-p^2}. \end{aligned}\]
г) Общий знаменатель — \((m+4)(m-4) = m^2-16\); дополнительные множители — \(m-4\) и \(m+4\):
\[\begin{aligned} &\frac{m}{m+4}+\frac{m}{m-4} = \frac{m(m-4)+m(m+4)}{m^2-16} = {} \\ &= \frac{m^2-4m+m^2+4m}{m^2-16} = \frac{2m^2}{m^2-16}; \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\frac{m}{m+4}-\frac{m}{m-4} = \frac{m(m-4)-m(m+4)}{m^2-16} = {} \\ &= \frac{m^2-4m-m^2-4m}{m^2-16} = \frac{-8m}{m^2-16} = \frac{8m}{16-m^2}. \end{aligned}\]
Ответ: а) сумма \(\frac{2a}{a^2-b^2}\), разность \(\frac{2b}{a^2-b^2}\); б) сумма \(\frac{2a^2+2}{a^2-1}\), разность \(\frac{4a}{a^2-1}\); в) сумма \(\frac{2p^2+2q^2}{p^2-q^2}\), разность \(\frac{4pq}{q^2-p^2}\); г) сумма \(\frac{2m^2}{m^2-16}\), разность \(\frac{8m}{16-m^2}\).
Найдите сумму и разность дробей:
а) \(\frac{1}{a-b}\) и \(\frac{1}{a+b}\);
б) \(\frac{a+1}{a-1}\) и \(\frac{a-1}{a+1}\);
в) \(\frac{p-q}{p+q}\) и \(\frac{p+q}{p-q}\);
г) \(\frac{m}{m+4}\) и \(\frac{m}{m-4}\).
Знаменатели дробей в каждом пункте общих множителей не имеют, поэтому за общий знаменатель берём их произведение.
а) Общий знаменатель — \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\); дополнительные множители — \(a+b\) и \(a-b\):
\[\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b} = \frac{(a+b)+(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b+a-b}{a^2-b^2} = \frac{2a}{a^2-b^2};\]
\[\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b} = \frac{(a+b)-(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b-a+b}{a^2-b^2} = \frac{2b}{a^2-b^2}.\]
б) Общий знаменатель — \((a-1)(a+1) = a^2-1\); дополнительные множители — \(a+1\) и \(a-1\):
\[\begin{aligned} &\frac{a+1}{a-1}+\frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)^2+(a-1)^2}{a^2-1} = {} \\ &= \frac{a^2+2a+1+a^2-2a+1}{a^2-1} = \frac{2a^2+2}{a^2-1}; \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\frac{a+1}{a-1}-\frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)^2-(a-1)^2}{a^2-1} = {} \\ &= \frac{a^2+2a+1-a^2+2a-1}{a^2-1} = \frac{4a}{a^2-1}. \end{aligned}\]
в) Общий знаменатель — \((p+q)(p-q) = p^2-q^2\); дополнительные множители — \(p-q\) и \(p+q\):
\[\begin{aligned} &\frac{p-q}{p+q}+\frac{p+q}{p-q} = \frac{(p-q)^2+(p+q)^2}{p^2-q^2} = {} \\ &= \frac{p^2-2pq+q^2+p^2+2pq+q^2}{p^2-q^2} = \frac{2p^2+2q^2}{p^2-q^2}; \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\frac{p-q}{p+q}-\frac{p+q}{p-q} = \frac{(p-q)^2-(p+q)^2}{p^2-q^2} = {} \\ &= \frac{p^2-2pq+q^2-p^2-2pq-q^2}{p^2-q^2} = \frac{-4pq}{p^2-q^2} = \frac{4pq}{q^2-p^2}. \end{aligned}\]
г) Общий знаменатель — \((m+4)(m-4) = m^2-16\); дополнительные множители — \(m-4\) и \(m+4\):
\[\begin{aligned} &\frac{m}{m+4}+\frac{m}{m-4} = \frac{m(m-4)+m(m+4)}{m^2-16} = {} \\ &= \frac{m^2-4m+m^2+4m}{m^2-16} = \frac{2m^2}{m^2-16}; \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\frac{m}{m+4}-\frac{m}{m-4} = \frac{m(m-4)-m(m+4)}{m^2-16} = {} \\ &= \frac{m^2-4m-m^2-4m}{m^2-16} = \frac{-8m}{m^2-16} = \frac{8m}{16-m^2}. \end{aligned}\]
Ответ: а) сумма \(\frac{2a}{a^2-b^2}\), разность \(\frac{2b}{a^2-b^2}\); б) сумма \(\frac{2a^2+2}{a^2-1}\), разность \(\frac{4a}{a^2-1}\); в) сумма \(\frac{2p^2+2q^2}{p^2-q^2}\), разность \(\frac{4pq}{q^2-p^2}\); г) сумма \(\frac{2m^2}{m^2-16}\), разность \(\frac{8m}{16-m^2}\).
