Страница 21 номер 1.50, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Приведите дроби к общему знаменателю и выполните сложение или вычитание; в качестве образца используйте пример 2 из текста (1.49—1.50).
а) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}\);
б) \(\frac{5}{a}+\frac{3a-5}{a+1}\);
в) \(\frac{x}{x+y}-\frac{x-y}{x}\);
г) \(\frac{m+n}{m}-\frac{n+m}{m-n}\);
д) \(\frac{2c}{c-d}-\frac{c+d}{c}\);
е) \(\frac{p}{q-p}-\frac{p}{q}\).
а) Общий знаменатель — \(x(x+y)\); дополнительные множители — \(x+y\) и \(x\):
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y} = \frac{x+y}{x(x+y)}+\frac{x}{x(x+y)} = \frac{(x+y)+x}{x(x+y)} = \frac{2x+y}{x(x+y)}.\]
б) Общий знаменатель — \(a(a+1)\); дополнительные множители — \(a+1\) и \(a\):
\[\begin{aligned} &\frac{5}{a}+\frac{3a-5}{a+1} = \frac{5(a+1)+(3a-5)a}{a(a+1)} = {} \\ &= \frac{5a+5+3a^2-5a}{a^2+a} = \frac{3a^2+5}{a^2+a}. \end{aligned}\]
в) Общий знаменатель — \(x(x+y)\); дополнительные множители — \(x\) и \(x+y\):
\[\begin{aligned} &\frac{x}{x+y}-\frac{x-y}{x} = \frac{x \cdot x-(x-y)(x+y)}{x(x+y)} = {} \\ &= \frac{x^2-(x^2-y^2)}{x(x+y)} = \frac{x^2-x^2+y^2}{x(x+y)} = \frac{y^2}{x(x+y)}. \end{aligned}\]
г) Общий знаменатель — \(m(m-n)\); дополнительные множители — \(m-n\) и \(m\):
\[\begin{aligned} &\frac{m+n}{m}-\frac{n+m}{m-n} = \frac{(m+n)(m-n)-(n+m)m}{m(m-n)} = {} \\ &= \frac{m^2-n^2-mn-m^2}{m^2-mn} = \frac{-mn-n^2}{m^2-mn}. \end{aligned}\]
Заменим и числитель, и знаменатель противоположными выражениями — дробь при этом не изменится:
\[\frac{-mn-n^2}{m^2-mn} = \frac{mn+n^2}{mn-m^2}.\]
д) Общий знаменатель — \(c(c-d)\); дополнительные множители — \(c\) и \(c-d\):
\[\begin{aligned} &\frac{2c}{c-d}-\frac{c+d}{c} = \frac{2c \cdot c-(c+d)(c-d)}{c(c-d)} = {} \\ &= \frac{2c^2-(c^2-d^2)}{c(c-d)} = \frac{2c^2-c^2+d^2}{c(c-d)} = \frac{c^2+d^2}{c(c-d)}. \end{aligned}\]
е) Общий знаменатель — \(q(q-p)\); дополнительные множители — \(q\) и \(q-p\):
\[\frac{p}{q-p}-\frac{p}{q} = \frac{pq-p(q-p)}{q(q-p)} = \frac{pq-pq+p^2}{q(q-p)} = \frac{p^2}{q(q-p)}.\]
Ответ: а) \(\frac{2x+y}{x(x+y)}\); б) \(\frac{3a^2+5}{a^2+a}\); в) \(\frac{y^2}{x(x+y)}\); г) \(\frac{mn+n^2}{mn-m^2}\); д) \(\frac{c^2+d^2}{c(c-d)}\); е) \(\frac{p^2}{q(q-p)}\).
Приведите дроби к общему знаменателю и выполните сложение или вычитание; в качестве образца используйте пример 2 из текста (1.49—1.50).
а) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}\);
б) \(\frac{5}{a}+\frac{3a-5}{a+1}\);
в) \(\frac{x}{x+y}-\frac{x-y}{x}\);
г) \(\frac{m+n}{m}-\frac{n+m}{m-n}\);
д) \(\frac{2c}{c-d}-\frac{c+d}{c}\);
е) \(\frac{p}{q-p}-\frac{p}{q}\).
Дроби приводим к общему знаменателю, а затем складываем (вычитаем) их числители.
а) Общий знаменатель — \(x(x+y)\); дополнительные множители — \(x+y\) и \(x\):
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y} = \frac{x+y}{x(x+y)}+\frac{x}{x(x+y)} = \frac{(x+y)+x}{x(x+y)} = \frac{2x+y}{x(x+y)}.\]
б) Общий знаменатель — \(a(a+1)\); дополнительные множители — \(a+1\) и \(a\):
\[\begin{aligned} &\frac{5}{a}+\frac{3a-5}{a+1} = \frac{5(a+1)+(3a-5)a}{a(a+1)} = {} \\ &= \frac{5a+5+3a^2-5a}{a^2+a} = \frac{3a^2+5}{a^2+a}. \end{aligned}\]
в) Общий знаменатель — \(x(x+y)\); дополнительные множители — \(x\) и \(x+y\):
\[\begin{aligned} &\frac{x}{x+y}-\frac{x-y}{x} = \frac{x \cdot x-(x-y)(x+y)}{x(x+y)} = {} \\ &= \frac{x^2-(x^2-y^2)}{x(x+y)} = \frac{x^2-x^2+y^2}{x(x+y)} = \frac{y^2}{x(x+y)}. \end{aligned}\]
г) Общий знаменатель — \(m(m-n)\); дополнительные множители — \(m-n\) и \(m\):
\[\begin{aligned} &\frac{m+n}{m}-\frac{n+m}{m-n} = \frac{(m+n)(m-n)-(n+m)m}{m(m-n)} = {} \\ &= \frac{m^2-n^2-mn-m^2}{m^2-mn} = \frac{-mn-n^2}{m^2-mn}. \end{aligned}\]
Заменим и числитель, и знаменатель противоположными выражениями — дробь при этом не изменится:
\[\frac{-mn-n^2}{m^2-mn} = \frac{mn+n^2}{mn-m^2}.\]
д) Общий знаменатель — \(c(c-d)\); дополнительные множители — \(c\) и \(c-d\):
\[\begin{aligned} &\frac{2c}{c-d}-\frac{c+d}{c} = \frac{2c \cdot c-(c+d)(c-d)}{c(c-d)} = {} \\ &= \frac{2c^2-(c^2-d^2)}{c(c-d)} = \frac{2c^2-c^2+d^2}{c(c-d)} = \frac{c^2+d^2}{c(c-d)}. \end{aligned}\]
е) Общий знаменатель — \(q(q-p)\); дополнительные множители — \(q\) и \(q-p\):
\[\frac{p}{q-p}-\frac{p}{q} = \frac{pq-p(q-p)}{q(q-p)} = \frac{pq-pq+p^2}{q(q-p)} = \frac{p^2}{q(q-p)}.\]
Ответ: а) \(\frac{2x+y}{x(x+y)}\); б) \(\frac{3a^2+5}{a^2+a}\); в) \(\frac{y^2}{x(x+y)}\); г) \(\frac{mn+n^2}{mn-m^2}\); д) \(\frac{c^2+d^2}{c(c-d)}\); е) \(\frac{p^2}{q(q-p)}\).
