Страница 20 номер 1.48, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Приведите дроби к общему знаменателю:
а) \(\frac{1}{8}\) и \(\frac{1}{5}\);
б) \(\frac{1}{6}\) и \(\frac{1}{9}\);
в) \(\frac{1}{a}\) и \(\frac{1}{b}\);
г) \(\frac{1}{a}\) и \(\frac{1}{3a}\);
д) \(\frac{c}{ab}\) и \(\frac{a}{bc}\);
е) \(\frac{1}{x^2y}\) и \(\frac{1}{xy^2}\);
ж) \(\frac{c}{a^2}\), \(\frac{1}{b^2}\), \(\frac{c^2}{ab}\);
з) \(\frac{c-x}{c+x}\) и \(\frac{cx}{c-x}\);
и) \(\frac{a-b}{a^2+ab}\) и \(\frac{a^2+b}{b^2+ab}\).
а) Общий знаменатель — 40; дополнительные множители — 5 и 8:
\[\frac{1}{8} = \frac{5}{40}, \qquad \frac{1}{5} = \frac{8}{40}.\]
б) Общий знаменатель — 18; дополнительные множители — 3 и 2:
\[\frac{1}{6} = \frac{3}{18}, \qquad \frac{1}{9} = \frac{2}{18}.\]
в) Общий знаменатель — \(ab\); дополнительные множители — \(b\) и \(a\):
\[\frac{1}{a} = \frac{b}{ab}, \qquad \frac{1}{b} = \frac{a}{ab}.\]
г) Общий знаменатель — \(3a\); дополнительный множитель первой дроби — 3, вторую дробь приводить не нужно:
\[\frac{1}{a} = \frac{1 \cdot 3}{a \cdot 3} = \frac{3}{3a}.\]
д) Общий знаменатель — \(abc\); дополнительные множители — \(c\) и \(a\):
\[\frac{c}{ab} = \frac{c^2}{abc}, \qquad \frac{a}{bc} = \frac{a^2}{abc}.\]
е) Общий знаменатель — \(x^2y^2\); дополнительные множители — \(y\) и \(x\):
\[\frac{1}{x^2y} = \frac{y}{x^2y^2}, \qquad \frac{1}{xy^2} = \frac{x}{x^2y^2}.\]
ж) Общий знаменатель — \(a^2b^2\); дополнительные множители — \(b^2\), \(a^2\) и \(ab\):
\[\frac{c}{a^2} = \frac{cb^2}{a^2b^2}, \qquad \frac{1}{b^2} = \frac{a^2}{a^2b^2}, \qquad \frac{c^2}{ab} = \frac{abc^2}{a^2b^2}.\]
з) Общий знаменатель — \((c+x)(c-x)\); дополнительные множители — \(c-x\) и \(c+x\):
\[\frac{c-x}{c+x} = \frac{(c-x)^2}{(c+x)(c-x)}, \qquad \frac{cx}{c-x} = \frac{cx(c+x)}{(c+x)(c-x)}.\]
и) \(a^2+ab = a(a+b)\), \(b^2+ab = b(a+b)\); множитель \(a+b\) общий, поэтому общий знаменатель — \(ab(a+b)\), дополнительные множители — \(b\) и \(a\):
\[\frac{a-b}{a^2+ab} = \frac{b(a-b)}{ab(a+b)}, \qquad \frac{a^2+b}{b^2+ab} = \frac{a(a^2+b)}{ab(a+b)}.\]
Ответ: а) \(\frac{5}{40}\) и \(\frac{8}{40}\); б) \(\frac{3}{18}\) и \(\frac{2}{18}\); в) \(\frac{b}{ab}\) и \(\frac{a}{ab}\); г) \(\frac{3}{3a}\) и \(\frac{1}{3a}\); д) \(\frac{c^2}{abc}\) и \(\frac{a^2}{abc}\); е) \(\frac{y}{x^2y^2}\) и \(\frac{x}{x^2y^2}\); ж) \(\frac{cb^2}{a^2b^2}\), \(\frac{a^2}{a^2b^2}\) и \(\frac{abc^2}{a^2b^2}\); з) \(\frac{(c-x)^2}{(c+x)(c-x)}\) и \(\frac{cx(c+x)}{(c+x)(c-x)}\); и) \(\frac{b(a-b)}{ab(a+b)}\) и \(\frac{a(a^2+b)}{ab(a+b)}\).
Приведите дроби к общему знаменателю:
а) \(\frac{1}{8}\) и \(\frac{1}{5}\);
б) \(\frac{1}{6}\) и \(\frac{1}{9}\);
в) \(\frac{1}{a}\) и \(\frac{1}{b}\);
г) \(\frac{1}{a}\) и \(\frac{1}{3a}\);
д) \(\frac{c}{ab}\) и \(\frac{a}{bc}\);
е) \(\frac{1}{x^2y}\) и \(\frac{1}{xy^2}\);
ж) \(\frac{c}{a^2}\), \(\frac{1}{b^2}\), \(\frac{c^2}{ab}\);
з) \(\frac{c-x}{c+x}\) и \(\frac{cx}{c-x}\);
и) \(\frac{a-b}{a^2+ab}\) и \(\frac{a^2+b}{b^2+ab}\).
Общий знаменатель должен делиться на каждый из знаменателей данных дробей; берём самое простое такое выражение и умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
а) Наименьшее общее кратное чисел 8 и 5 равно 40; дополнительные множители — 5 и 8:
\[\frac{1}{8} = \frac{5}{40}, \qquad \frac{1}{5} = \frac{8}{40}.\]
б) Наименьшее общее кратное чисел 6 и 9 равно 18; дополнительные множители — 3 и 2:
\[\frac{1}{6} = \frac{3}{18}, \qquad \frac{1}{9} = \frac{2}{18}.\]
в) Знаменатели \(a\) и \(b\) общих множителей не имеют, поэтому общий знаменатель — их произведение \(ab\); дополнительные множители — \(b\) и \(a\):
\[\frac{1}{a} = \frac{b}{ab}, \qquad \frac{1}{b} = \frac{a}{ab}.\]
г) Выражение \(3a\) делится и на \(a\), и на \(3a\), поэтому оно и есть самый простой общий знаменатель. Дополнительный множитель первой дроби — 3, вторую дробь приводить не нужно:
\[\frac{1}{a} = \frac{1 \cdot 3}{a \cdot 3} = \frac{3}{3a}.\]
д) Общий знаменатель должен делиться и на \(ab\), и на \(bc\), а для этого достаточно, чтобы каждая из переменных входила в него в первой степени: это \(abc\). Дополнительные множители — \(c\) и \(a\):
\[\frac{c}{ab} = \frac{c^2}{abc}, \qquad \frac{a}{bc} = \frac{a^2}{abc}.\]
е) Общий знаменатель делится и на \(x^2y\), и на \(xy^2\), если каждая переменная входит в него во второй степени: это \(x^2y^2\). Дополнительные множители — \(y\) и \(x\):
\[\frac{1}{x^2y} = \frac{y}{x^2y^2}, \qquad \frac{1}{xy^2} = \frac{x}{x^2y^2}.\]
ж) Общий знаменатель должен делиться на \(a^2\), на \(b^2\) и на \(ab\); самое простое такое выражение — \(a^2b^2\). Дополнительные множители — \(b^2\), \(a^2\) и \(ab\):
\[\frac{c}{a^2} = \frac{cb^2}{a^2b^2}, \qquad \frac{1}{b^2} = \frac{a^2}{a^2b^2}, \qquad \frac{c^2}{ab} = \frac{abc^2}{a^2b^2}.\]
з) Знаменатели \(c+x\) и \(c-x\) общих множителей не имеют, поэтому общий знаменатель — их произведение \((c+x)(c-x)\). Дополнительные множители — \(c-x\) и \(c+x\):
\[\frac{c-x}{c+x} = \frac{(c-x)^2}{(c+x)(c-x)}, \qquad \frac{cx}{c-x} = \frac{cx(c+x)}{(c+x)(c-x)}.\]
и) Разложим знаменатели на множители: \(a^2+ab = a(a+b)\), \(b^2+ab = b(a+b)\). Множитель \(a+b\) у них общий, поэтому общий знаменатель — \(ab(a+b)\); дополнительные множители — \(b\) и \(a\):
\[\frac{a-b}{a^2+ab} = \frac{b(a-b)}{ab(a+b)}, \qquad \frac{a^2+b}{b^2+ab} = \frac{a(a^2+b)}{ab(a+b)}.\]
Ответ: а) \(\frac{5}{40}\) и \(\frac{8}{40}\); б) \(\frac{3}{18}\) и \(\frac{2}{18}\); в) \(\frac{b}{ab}\) и \(\frac{a}{ab}\); г) \(\frac{3}{3a}\) и \(\frac{1}{3a}\); д) \(\frac{c^2}{abc}\) и \(\frac{a^2}{abc}\); е) \(\frac{y}{x^2y^2}\) и \(\frac{x}{x^2y^2}\); ж) \(\frac{cb^2}{a^2b^2}\), \(\frac{a^2}{a^2b^2}\) и \(\frac{abc^2}{a^2b^2}\); з) \(\frac{(c-x)^2}{(c+x)(c-x)}\) и \(\frac{cx(c+x)}{(c+x)(c-x)}\); и) \(\frac{b(a-b)}{ab(a+b)}\) и \(\frac{a(a^2+b)}{ab(a+b)}\).
