Страница 20 номер 1.47, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (1.44—1.47). Выполните сложение или вычитание дробей.
а) \(\frac{4a+1}{3a-3}-\frac{a+1}{3a-3}\);
б) \(\frac{3a+2b}{a+b}+\frac{2a+3b}{a+b}\);
в) \(\frac{x+a}{a-5}-\frac{x+5}{a-5}\);
г) \(\frac{2mn}{m^2-n^2}+\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}\);
д) \(\frac{k^2+k}{k^2-9}-\frac{7k-9}{k^2-9}\);
е) \(\frac{2a^2}{a^2-4a+4}-\frac{a^2+4}{a^2-4a+4}\).
Числитель вычитаемой дроби берём в скобки — знак «минус» перед скобкой меняет знак каждого слагаемого.
а)
\[\begin{aligned} &\frac{4a+1}{3a-3}-\frac{a+1}{3a-3} = \frac{(4a+1)-(a+1)}{3a-3} = {} \\ &= \frac{4a+1-a-1}{3a-3} = \frac{3a}{3(a-1)} = \frac{a}{a-1}. \end{aligned}\]
б)
\[\begin{aligned} &\frac{3a+2b}{a+b}+\frac{2a+3b}{a+b} = \frac{(3a+2b)+(2a+3b)}{a+b} = {} \\ &= \frac{5a+5b}{a+b} = \frac{5(a+b)}{a+b} = 5. \end{aligned}\]
в)
\[\frac{x+a}{a-5}-\frac{x+5}{a-5} = \frac{(x+a)-(x+5)}{a-5} = \frac{x+a-x-5}{a-5} = \frac{a-5}{a-5} = 1.\]
г)
\[\begin{aligned} &\frac{2mn}{m^2-n^2}+\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} = \frac{m^2+2mn+n^2}{m^2-n^2} = {} \\ &= \frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{m+n}{m-n}. \end{aligned}\]
д)
\[\begin{aligned} &\frac{k^2+k}{k^2-9}-\frac{7k-9}{k^2-9} = \frac{(k^2+k)-(7k-9)}{k^2-9} = {} \\ &= \frac{k^2+k-7k+9}{k^2-9} = \frac{k^2-6k+9}{k^2-9} = {} \\ &= \frac{(k-3)^2}{(k-3)(k+3)} = \frac{k-3}{k+3}. \end{aligned}\]
е)
\[\begin{aligned} &\frac{2a^2}{a^2-4a+4}-\frac{a^2+4}{a^2-4a+4} = \frac{2a^2-(a^2+4)}{a^2-4a+4} = {} \\ &= \frac{2a^2-a^2-4}{a^2-4a+4} = \frac{a^2-4}{(a-2)^2} = {} \\ &= \frac{(a-2)(a+2)}{(a-2)^2} = \frac{a+2}{a-2}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{a}{a-1}\); б) 5; в) 1; г) \(\frac{m+n}{m-n}\); д) \(\frac{k-3}{k+3}\); е) \(\frac{a+2}{a-2}\).
ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (1.44—1.47). Выполните сложение или вычитание дробей.
а) \(\frac{4a+1}{3a-3}-\frac{a+1}{3a-3}\);
б) \(\frac{3a+2b}{a+b}+\frac{2a+3b}{a+b}\);
в) \(\frac{x+a}{a-5}-\frac{x+5}{a-5}\);
г) \(\frac{2mn}{m^2-n^2}+\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}\);
д) \(\frac{k^2+k}{k^2-9}-\frac{7k-9}{k^2-9}\);
е) \(\frac{2a^2}{a^2-4a+4}-\frac{a^2+4}{a^2-4a+4}\).
Знаменатели дробей одинаковые: числители складываем (вычитаем), знаменатель оставляем тем же, а полученную дробь сокращаем. Числитель вычитаемой дроби берём в скобки — знак «минус» перед скобкой меняет знак каждого слагаемого.
а)
\[\begin{aligned} &\frac{4a+1}{3a-3}-\frac{a+1}{3a-3} = \frac{(4a+1)-(a+1)}{3a-3} = {} \\ &= \frac{4a+1-a-1}{3a-3} = \frac{3a}{3(a-1)} = \frac{a}{a-1}. \end{aligned}\]
б)
\[\begin{aligned} &\frac{3a+2b}{a+b}+\frac{2a+3b}{a+b} = \frac{(3a+2b)+(2a+3b)}{a+b} = {} \\ &= \frac{5a+5b}{a+b} = \frac{5(a+b)}{a+b} = 5. \end{aligned}\]
в)
\[\frac{x+a}{a-5}-\frac{x+5}{a-5} = \frac{(x+a)-(x+5)}{a-5} = \frac{x+a-x-5}{a-5} = \frac{a-5}{a-5} = 1.\]
г)
\[\begin{aligned} &\frac{2mn}{m^2-n^2}+\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} = \frac{m^2+2mn+n^2}{m^2-n^2} = {} \\ &= \frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{m+n}{m-n}. \end{aligned}\]
д)
\[\begin{aligned} &\frac{k^2+k}{k^2-9}-\frac{7k-9}{k^2-9} = \frac{(k^2+k)-(7k-9)}{k^2-9} = {} \\ &= \frac{k^2+k-7k+9}{k^2-9} = \frac{k^2-6k+9}{k^2-9} = {} \\ &= \frac{(k-3)^2}{(k-3)(k+3)} = \frac{k-3}{k+3}. \end{aligned}\]
е)
\[\begin{aligned} &\frac{2a^2}{a^2-4a+4}-\frac{a^2+4}{a^2-4a+4} = \frac{2a^2-(a^2+4)}{a^2-4a+4} = {} \\ &= \frac{2a^2-a^2-4}{a^2-4a+4} = \frac{a^2-4}{(a-2)^2} = {} \\ &= \frac{(a-2)(a+2)}{(a-2)^2} = \frac{a+2}{a-2}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{a}{a-1}\); б) 5; в) 1; г) \(\frac{m+n}{m-n}\); д) \(\frac{k-3}{k+3}\); е) \(\frac{a+2}{a-2}\).
