Страница 17 номер 1.43, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО. Учащиеся выполняли задания на сокращение дробей. Ниже показано, как начали преобразования Андрей (А) и Борис (Б). Правильно ли сделал первые шаги каждый из учащихся? Если нет, то исправьте ошибку. Доведите каждое решение до конца.
А) \(\frac{(2a-2b)^2}{8b-8a}=\frac{2(a-b)^2}{8(b-a)}=\ldots\)
Б) \(\frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m)^2}=\frac{4(m^2-n^2)}{16(n-m)^2}=-\frac{(m-n)(m+n)}{4(m-n)^2}=\ldots\)
А) Первый шаг неверен: при возведении в квадрат произведения \(2(a-b)\) в квадрат возводится и множитель 2, поэтому \((2a-2b)^2 = \big(2(a-b)\big)^2 = 4(a-b)^2\), а не \(2(a-b)^2\). Знаменатель разложен на множители верно: \(8b-8a = 8(b-a)\).
Заменим в знаменателе \(b-a\) на \(a-b\), поставив знак «минус» перед дробью: \[\frac{(2a-2b)^2}{8b-8a} = \frac{4(a-b)^2}{8(b-a)} = -\frac{4(a-b)^2}{8(a-b)} = -\frac{a-b}{2} = \frac{b-a}{2}.\]
Б) Первое преобразование верно: \(4m^2-4n^2 = 4(m^2-n^2)\) и \((4n-4m)^2 = \big(4(n-m)\big)^2 = 16(n-m)^2\). Ошибка на следующем шаге: квадраты противоположных выражений равны, \((n-m)^2 = (m-n)^2\), поэтому при такой замене знак перед дробью не меняется и знак «минус» здесь лишний.
Исправим ошибку: \[\frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m)^2} = \frac{4(m^2-n^2)}{16(m-n)^2} = \frac{4(m-n)(m+n)}{16(m-n)^2} = \frac{m+n}{4(m-n)}.\]
Ответ: Андрей ошибся в первом шаге, так как \((2a-2b)^2 = 4(a-b)^2\), а не \(2(a-b)^2\); после исправления \(\frac{(2a-2b)^2}{8b-8a} = \frac{b-a}{2}\). Борис верно выполнил первое преобразование, но затем поставил лишний знак «минус», ведь \((n-m)^2 = (m-n)^2\); после исправления \(\frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m)^2} = \frac{m+n}{4(m-n)}\).
ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО. Учащиеся выполняли задания на сокращение дробей. Ниже показано, как начали преобразования Андрей (А) и Борис (Б). Правильно ли сделал первые шаги каждый из учащихся? Если нет, то исправьте ошибку. Доведите каждое решение до конца.
А) \(\frac{(2a-2b)^2}{8b-8a}=\frac{2(a-b)^2}{8(b-a)}=\ldots\)
Б) \(\frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m)^2}=\frac{4(m^2-n^2)}{16(n-m)^2}=-\frac{(m-n)(m+n)}{4(m-n)^2}=\ldots\)
А) Первый шаг сделан неверно: при возведении в квадрат произведения \(2(a-b)\) в квадрат возводится и множитель 2, поэтому \((2a-2b)^2 = \big(2(a-b)\big)^2 = 4(a-b)^2\), а не \(2(a-b)^2\). Знаменатель разложен на множители верно: \(8b-8a = 8(b-a)\).
Исправим ошибку и доведём сокращение до конца. Множители \(b-a\) и \(a-b\) различаются только знаками, поэтому заменим в знаменателе \(b-a\) на \(a-b\), поставив знак «минус» перед дробью: \[\frac{(2a-2b)^2}{8b-8a} = \frac{4(a-b)^2}{8(b-a)} = -\frac{4(a-b)^2}{8(a-b)} = -\frac{a-b}{2} = \frac{b-a}{2}.\]
Б) Первое преобразование выполнено верно: \(4m^2-4n^2 = 4(m^2-n^2)\) и \((4n-4m)^2 = \big(4(n-m)\big)^2 = 16(n-m)^2\). Ошибка сделана на следующем шаге: квадраты противоположных выражений равны, \((n-m)^2 = (m-n)^2\), поэтому при такой замене знак перед дробью не меняется и знак «минус» здесь лишний.
Исправим ошибку и доведём сокращение до конца: \[\frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m)^2} = \frac{4(m^2-n^2)}{16(m-n)^2} = \frac{4(m-n)(m+n)}{16(m-n)^2} = \frac{m+n}{4(m-n)}.\]
Ответ: Андрей ошибся в первом шаге, так как \((2a-2b)^2 = 4(a-b)^2\), а не \(2(a-b)^2\); после исправления \(\frac{(2a-2b)^2}{8b-8a} = \frac{b-a}{2}\). Борис верно выполнил первое преобразование, но затем поставил лишний знак «минус», ведь \((n-m)^2 = (m-n)^2\); после исправления \(\frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m)^2} = \frac{m+n}{4(m-n)}\).
