Вопросы после параграфа 1.3 на странице 20, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
• Сформулируйте правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (фрагмент 1) и примените эти правила для нахождения суммы и разности дробей \(\frac{x-a}{ax}\) и \(\frac{x-2a}{ax}\).
• Прокомментируйте каждый шаг преобразования суммы и разности дробей в примере 2 (фрагмент 2).
• Найдите самый простой общий знаменатель следующих дробей и объясните свои действия: а) \(\frac{a}{a-b}\) и \(\frac{b}{a}\); б) \(\frac{1}{xy^2}\) и \(\frac{1}{x^2y}\); в) \(\frac{b}{a^2-ab}\) и \(\frac{a}{ab-b^2}\).
• Разберите, как выполнено сложение выражений в примере 5 (фрагмент 3), и найдите разность этих выражений. Комментируйте каждый шаг.
При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, при вычитании — из числителя первой дроби вычитают числитель второй, а знаменатель в обоих случаях оставляют тем же: \(\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}\), \(\frac{A}{C}-\frac{B}{C}=\frac{A-B}{C}\).
\[\frac{x-a}{ax}+\frac{x-2a}{ax} = \frac{(x-a)+(x-2a)}{ax} = \frac{x-a+x-2a}{ax} = \frac{2x-3a}{ax}.\]
\[\frac{x-a}{ax}-\frac{x-2a}{ax} = \frac{(x-a)-(x-2a)}{ax} = \frac{x-a-x+2a}{ax} = \frac{a}{ax} = \frac{1}{x}.\]
Ответ: чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, складывают их числители, а знаменатель оставляют тем же; чтобы вычесть — из числителя первой дроби вычитают числитель второй, а знаменатель оставляют тем же; сумма данных дробей равна \(\frac{2x-3a}{ax}\), разность — \(\frac{1}{x}\).
В примере находят сумму и разность дробей \(\frac{1}{a+b}\) и \(\frac{1}{a-b}\). Знаменатели общих множителей не имеют, поэтому общий знаменатель — \((a+b)(a-b)\); дополнительные множители — \(a-b\) и \(a+b\). Числители складывают, приводят подобные слагаемые, а знаменатель по формуле разности квадратов записывают как \(a^2-b^2\):
\[\begin{aligned} &\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b} = \frac{a-b}{(a+b)(a-b)}+\frac{a+b}{(a+b)(a-b)} = {} \\ &= \frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{a^2-b^2}. \end{aligned}\]
При вычитании общий знаменатель тот же, а знак «минус» перед скобкой меняет знак каждого слагаемого. Последний шаг убирает «минус» из числителя: и числитель, и знаменатель заменяют противоположными выражениями, отчего дробь не меняется:
\[\begin{aligned} &\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b} = \frac{(a-b)-(a+b)}{(a+b)(a-b)} = {} \\ &= \frac{-2b}{a^2-b^2} = \frac{2b}{b^2-a^2}. \end{aligned}\]
Ответ: дроби приводят к общему знаменателю \((a+b)(a-b)\) с дополнительными множителями \(a-b\) и \(a+b\), складывают (вычитают) числители, приводят подобные слагаемые и записывают знаменатель как \(a^2-b^2\); сумма дробей равна \(\frac{2a}{a^2-b^2}\), разность — \(\frac{2b}{b^2-a^2}\).
Общий знаменатель должен делиться на каждый из знаменателей данных дробей; из всех таких выражений выбираем самое простое.
а) Знаменатели \(a-b\) и \(a\) общих множителей не имеют, поэтому проще их произведения \(a(a-b)\) общего знаменателя нет.
б) Каждая из переменных \(x\) и \(y\) должна входить в общий знаменатель во второй степени: это \(x^2y^2\), а произведение знаменателей \(x^3y^3\) сложнее.
в) \(a^2-ab = a(a-b)\), \(ab-b^2 = b(a-b)\); множитель \(a-b\) у знаменателей общий, и брать его дважды не нужно — достаточно выражения \(ab(a-b)\).
Ответ: а) \(a(a-b)\); б) \(x^2y^2\); в) \(ab(a-b)\).
В примере складывают выражения \(a\) и \(\frac{a^2}{1-a}\). Целое выражение записывают дробью со знаменателем 1: \(a = \frac{a}{1}\). Общий знаменатель — \(1-a\), дополнительный множитель первой дроби — \(1-a\); затем числители складывают, раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые:
\[\begin{aligned} &a+\frac{a^2}{1-a} = \frac{a}{1}+\frac{a^2}{1-a} = {} \\ &= \frac{a(1-a)+a^2}{1-a} = \frac{a-a^2+a^2}{1-a} = \frac{a}{1-a}. \end{aligned}\]
Разность находят так же, только числитель второй дроби вычитают; знак «минус» относится ко всему числителю \(a^2\):
\[a-\frac{a^2}{1-a} = \frac{a(1-a)-a^2}{1-a} = \frac{a-a^2-a^2}{1-a} = \frac{a-2a^2}{1-a}.\]
Ответ: целое выражение записывают дробью со знаменателем 1, приводят её к знаменателю \(1-a\) с дополнительным множителем \(1-a\), складывают числители и приводят подобные слагаемые, что даёт \(\frac{a}{1-a}\); разность выражений равна \(\frac{a-2a^2}{1-a}\).
• Сформулируйте правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (фрагмент 1) и примените эти правила для нахождения суммы и разности дробей \(\frac{x-a}{ax}\) и \(\frac{x-2a}{ax}\).
• Прокомментируйте каждый шаг преобразования суммы и разности дробей в примере 2 (фрагмент 2).
• Найдите самый простой общий знаменатель следующих дробей и объясните свои действия: а) \(\frac{a}{a-b}\) и \(\frac{b}{a}\); б) \(\frac{1}{xy^2}\) и \(\frac{1}{x^2y}\); в) \(\frac{b}{a^2-ab}\) и \(\frac{a}{ab-b^2}\).
• Разберите, как выполнено сложение выражений в примере 5 (фрагмент 3), и найдите разность этих выражений. Комментируйте каждый шаг.
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же. С помощью букв эти правила записываются так: \(\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}\), \(\frac{A}{C}-\frac{B}{C}=\frac{A-B}{C}\).
Знаменатели данных дробей одинаковые, поэтому их сумма равна
\[\frac{x-a}{ax}+\frac{x-2a}{ax} = \frac{(x-a)+(x-2a)}{ax} = \frac{x-a+x-2a}{ax} = \frac{2x-3a}{ax}.\]
Разность этих дробей равна
\[\frac{x-a}{ax}-\frac{x-2a}{ax} = \frac{(x-a)-(x-2a)}{ax} = \frac{x-a-x+2a}{ax} = \frac{a}{ax} = \frac{1}{x}.\]
Ответ: чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, складывают их числители, а знаменатель оставляют тем же; чтобы вычесть — из числителя первой дроби вычитают числитель второй, а знаменатель оставляют тем же; сумма данных дробей равна \(\frac{2x-3a}{ax}\), разность — \(\frac{1}{x}\).
В примере находят сумму и разность дробей \(\frac{1}{a+b}\) и \(\frac{1}{a-b}\).
Знаменатели дробей разные и общих множителей не имеют, поэтому проще их произведения \((a+b)(a-b)\) общего знаменателя нет: оно делится и на \(a+b\), и на \(a-b\). Дополнительный множитель первой дроби — \(a-b\), второй — \(a+b\); на них умножают числитель и знаменатель каждой дроби, и по основному свойству дроби получаются дроби, равные данным. Дальше знаменатели одинаковые, числители складывают, а знаменатель оставляют тем же. В числителе раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые: \((a-b)+(a+b) = a-b+a+b = 2a\), а знаменатель по формуле разности квадратов записывают как \(a^2-b^2\):
\[\begin{aligned} &\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b} = \frac{a-b}{(a+b)(a-b)}+\frac{a+b}{(a+b)(a-b)} = {} \\ &= \frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{a^2-b^2}. \end{aligned}\]
При вычитании общий знаменатель тот же, а из числителя первой дроби вычитают числитель второй. Знак «минус» перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: \((a-b)-(a+b) = a-b-a-b = -2b\). Последний шаг убирает «минус» из числителя: и числитель, и знаменатель заменяют противоположными выражениями, отчего дробь не меняется:
\[\begin{aligned} &\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b} = \frac{(a-b)-(a+b)}{(a+b)(a-b)} = {} \\ &= \frac{-2b}{a^2-b^2} = \frac{2b}{b^2-a^2}. \end{aligned}\]
Ответ: дроби приводят к общему знаменателю \((a+b)(a-b)\) с дополнительными множителями \(a-b\) и \(a+b\), складывают (вычитают) числители, приводят подобные слагаемые и записывают знаменатель как \(a^2-b^2\); сумма дробей равна \(\frac{2a}{a^2-b^2}\), разность — \(\frac{2b}{b^2-a^2}\).
Общий знаменатель должен делиться на каждый из знаменателей данных дробей; из всех таких выражений выбираем самое простое.
а) Знаменатели \(a-b\) и \(a\) общих множителей не имеют, поэтому проще их произведения \(a(a-b)\) общего знаменателя нет.
б) Общий знаменатель должен делиться и на \(xy^2\), и на \(x^2y\), а для этого достаточно, чтобы каждая из переменных \(x\) и \(y\) входила в него во второй степени: это \(x^2y^2\). Произведение знаменателей \(x^3y^3\) сложнее.
в) Разложим знаменатели на множители: \(a^2-ab = a(a-b)\), \(ab-b^2 = b(a-b)\). Множитель \(a-b\) у них общий, и брать его дважды не нужно: достаточно выражения \(ab(a-b)\).
Ответ: а) \(a(a-b)\); б) \(x^2y^2\); в) \(ab(a-b)\).
В примере складывают выражения \(a\) и \(\frac{a^2}{1-a}\).
Первое слагаемое — целое выражение, и, чтобы применить правило сложения дробей, его записывают дробью со знаменателем 1: \(a = \frac{a}{1}\). За общий знаменатель берут \(1-a\): он делится и на 1, и на \(1-a\). Дополнительный множитель первой дроби — \(1-a\). Дальше числители складывают, в числителе раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые: \(a(1-a)+a^2 = a-a^2+a^2 = a\):
\[\begin{aligned} &a+\frac{a^2}{1-a} = \frac{a}{1}+\frac{a^2}{1-a} = {} \\ &= \frac{a(1-a)+a^2}{1-a} = \frac{a-a^2+a^2}{1-a} = \frac{a}{1-a}. \end{aligned}\]
Разность находят так же, только числитель второй дроби вычитают; знак «минус» относится ко всему числителю \(a^2\):
\[a-\frac{a^2}{1-a} = \frac{a(1-a)-a^2}{1-a} = \frac{a-a^2-a^2}{1-a} = \frac{a-2a^2}{1-a}.\]
Ответ: целое выражение записывают дробью со знаменателем 1, приводят её к знаменателю \(1-a\) с дополнительным множителем \(1-a\), складывают числители и приводят подобные слагаемые, что даёт \(\frac{a}{1-a}\); разность выражений равна \(\frac{a-2a^2}{1-a}\).
