Страница 17 номер 1.42, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Сократите дробь (1.40—1.42).
а) \(\frac{a(x-y)-b(y-x)}{(a-b)(y-x)}\);
б) \(\frac{(1-n)(n-2)}{2(n-1)-n(n-1)}\);
в) \(\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(a-p)(b-p)(c-p)}\);
г) \(\frac{(a+b-c)(a-b)}{(c-a-b)(a-c)}\).
а) \(-b(y-x) = b(x-y)\), поэтому числитель раскладывается на множители: \(a(x-y)-b(y-x) = a(x-y)+b(x-y) = (x-y)(a+b)\). Замена множителя \(y-x\) в знаменателе на \(x-y\) даёт знак «минус» перед дробью: \[\frac{a(x-y)-b(y-x)}{(a-b)(y-x)} = \frac{(x-y)(a+b)}{(a-b)(y-x)} = -\frac{(x-y)(a+b)}{(a-b)(x-y)} = -\frac{a+b}{a-b}.\]
б) \(2(n-1)-n(n-1) = (n-1)(2-n)\) — в знаменателе вынесли общий множитель \(n-1\). Замены \(1-n\) на \(n-1\) и \(2-n\) на \(n-2\) дают два знака «минус», а два минуса дают плюс: \[\frac{(1-n)(n-2)}{2(n-1)-n(n-1)} = \frac{(1-n)(n-2)}{(n-1)(2-n)} = -\frac{(n-1)(n-2)}{(n-1)(2-n)} = \frac{(n-1)(n-2)}{(n-1)(n-2)} = 1.\]
в) Каждый множитель знаменателя противоположен соответствующему множителю числителя, поэтому три замены дают три знака «минус», а три минуса дают минус: \[\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(a-p)(b-p)(c-p)} = -\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(p-a)(p-b)(p-c)} = -1.\]
г) Трёхчлены \(c-a-b\) и \(a+b-c\) противоположны, поэтому замена множителя \(c-a-b\) на \(a+b-c\) даёт знак «минус» перед дробью: \[\frac{(a+b-c)(a-b)}{(c-a-b)(a-c)} = -\frac{(a+b-c)(a-b)}{(a+b-c)(a-c)} = -\frac{a-b}{a-c}.\]
Ответ: а) \(-\frac{a+b}{a-b}\); б) 1; в) \(-1\); г) \(-\frac{a-b}{a-c}\).
Сократите дробь (1.40—1.42).
а) \(\frac{a(x-y)-b(y-x)}{(a-b)(y-x)}\);
б) \(\frac{(1-n)(n-2)}{2(n-1)-n(n-1)}\);
в) \(\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(a-p)(b-p)(c-p)}\);
г) \(\frac{(a+b-c)(a-b)}{(c-a-b)(a-c)}\).
а) Двучлены \(x-y\) и \(y-x\) противоположны, поэтому \(-b(y-x) = b(x-y)\) и числитель раскладывается на множители: \(a(x-y)-b(y-x) = a(x-y)+b(x-y) = (x-y)(a+b)\). Заменим в знаменателе множитель \(y-x\) на противоположный ему \(x-y\), поставив знак «минус» перед дробью: \[\frac{a(x-y)-b(y-x)}{(a-b)(y-x)} = \frac{(x-y)(a+b)}{(a-b)(y-x)} = -\frac{(x-y)(a+b)}{(a-b)(x-y)} = -\frac{a+b}{a-b}.\]
б) В знаменателе вынесем за скобки общий множитель \(n-1\): \(2(n-1)-n(n-1) = (n-1)(2-n)\). Заменим в числителе множитель \(1-n\) на \(n-1\), а в знаменателе множитель \(2-n\) на \(n-2\); каждая замена даёт знак «минус» перед дробью, а два минуса дают плюс: \[\frac{(1-n)(n-2)}{2(n-1)-n(n-1)} = \frac{(1-n)(n-2)}{(n-1)(2-n)} = -\frac{(n-1)(n-2)}{(n-1)(2-n)} = \frac{(n-1)(n-2)}{(n-1)(n-2)} = 1.\]
в) Каждый множитель знаменателя противоположен соответствующему множителю числителя, поэтому произведение \((a-p)(b-p)(c-p)\) противоположно произведению \((p-a)(p-b)(p-c)\): три замены дают три знака «минус», а три минуса дают минус. Значит, \[\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(a-p)(b-p)(c-p)} = -\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(p-a)(p-b)(p-c)} = -1.\]
г) Трёхчлены \(c-a-b\) и \(a+b-c\) противоположны. Заменим в знаменателе множитель \(c-a-b\) на \(a+b-c\), поставив знак «минус» перед дробью: \[\frac{(a+b-c)(a-b)}{(c-a-b)(a-c)} = -\frac{(a+b-c)(a-b)}{(a+b-c)(a-c)} = -\frac{a-b}{a-c}.\]
Ответ: а) \(-\frac{a+b}{a-b}\); б) 1; в) \(-1\); г) \(-\frac{a-b}{a-c}\).
