Страница 17 номер 1.41, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Сократите дробь (1.40—1.42).
а) \(\frac{y^2-y}{1-y^2}\);
б) \(\frac{a^2-4}{2a-a^2}\);
в) \(\frac{3x-3c}{ac-ax}\);
г) \(\frac{5a^2-10ab}{2b^2-ab}\);
д) \(\frac{m^2-n^2}{(n-m)^2}\);
е) \(\frac{z^2-3z}{9-6z+z^2}\);
ж) \(\frac{x^3-x}{x-x^2}\);
з) \(\frac{a^2x-ax^2}{x^2-ax}\);
и) \(\frac{p^2-2pn+n^2}{n^2-pn}\).
Множители, различающиеся только знаками, приводим к одинаковому виду: заменяем один из них на противоположное выражение, ставя знак «минус» перед дробью.
а) \[\frac{y^2-y}{1-y^2} = \frac{y(y-1)}{(1-y)(1+y)} = -\frac{y(y-1)}{(y-1)(1+y)} = -\frac{y}{y+1}.\]
б) \[\frac{a^2-4}{2a-a^2} = \frac{(a-2)(a+2)}{a(2-a)} = -\frac{(a-2)(a+2)}{a(a-2)} = -\frac{a+2}{a}.\]
в) \[\frac{3x-3c}{ac-ax} = \frac{3(x-c)}{a(c-x)} = -\frac{3(x-c)}{a(x-c)} = -\frac{3}{a}.\]
г) \[\frac{5a^2-10ab}{2b^2-ab} = \frac{5a(a-2b)}{b(2b-a)} = -\frac{5a(a-2b)}{b(a-2b)} = -\frac{5a}{b}.\]
д) Квадраты противоположных выражений равны, \((n-m)^2 = (m-n)^2\), поэтому знак перед дробью не меняется: \[\frac{m^2-n^2}{(n-m)^2} = \frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)^2} = \frac{m+n}{m-n}.\]
е) В знаменателе — квадрат разности: \(9-6z+z^2 = z^2-6z+9 = (z-3)^2\). Значит, \[\frac{z^2-3z}{9-6z+z^2} = \frac{z(z-3)}{(z-3)^2} = \frac{z}{z-3}.\]
ж) \[\frac{x^3-x}{x-x^2} = \frac{x(x^2-1)}{x(1-x)} = \frac{x(x-1)(x+1)}{x(1-x)} = -\frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)} = -(x+1).\]
з) \[\frac{a^2x-ax^2}{x^2-ax} = \frac{ax(a-x)}{x(x-a)} = -\frac{ax(a-x)}{x(a-x)} = -a.\]
и) В числителе — квадрат разности, а квадраты противоположных выражений равны: \(p^2-2pn+n^2 = (p-n)^2 = (n-p)^2\). Значит, \[\frac{p^2-2pn+n^2}{n^2-pn} = \frac{(n-p)^2}{n(n-p)} = \frac{n-p}{n}.\]
Ответ: а) \(-\frac{y}{y+1}\); б) \(-\frac{a+2}{a}\); в) \(-\frac{3}{a}\); г) \(-\frac{5a}{b}\); д) \(\frac{m+n}{m-n}\); е) \(\frac{z}{z-3}\); ж) \(-(x+1)\); з) \(-a\); и) \(\frac{n-p}{n}\).
Сократите дробь (1.40—1.42).
а) \(\frac{y^2-y}{1-y^2}\);
б) \(\frac{a^2-4}{2a-a^2}\);
в) \(\frac{3x-3c}{ac-ax}\);
г) \(\frac{5a^2-10ab}{2b^2-ab}\);
д) \(\frac{m^2-n^2}{(n-m)^2}\);
е) \(\frac{z^2-3z}{9-6z+z^2}\);
ж) \(\frac{x^3-x}{x-x^2}\);
з) \(\frac{a^2x-ax^2}{x^2-ax}\);
и) \(\frac{p^2-2pn+n^2}{n^2-pn}\).
Разложим на множители числитель и знаменатель каждой дроби. Множители, которые различаются только знаками, приведём к одинаковому виду: заменим один из них на противоположное выражение, поставив знак «минус» перед дробью.
а) \[\frac{y^2-y}{1-y^2} = \frac{y(y-1)}{(1-y)(1+y)} = -\frac{y(y-1)}{(y-1)(1+y)} = -\frac{y}{y+1}.\]
б) \[\frac{a^2-4}{2a-a^2} = \frac{(a-2)(a+2)}{a(2-a)} = -\frac{(a-2)(a+2)}{a(a-2)} = -\frac{a+2}{a}.\]
в) \[\frac{3x-3c}{ac-ax} = \frac{3(x-c)}{a(c-x)} = -\frac{3(x-c)}{a(x-c)} = -\frac{3}{a}.\]
г) \[\frac{5a^2-10ab}{2b^2-ab} = \frac{5a(a-2b)}{b(2b-a)} = -\frac{5a(a-2b)}{b(a-2b)} = -\frac{5a}{b}.\]
д) Квадраты противоположных выражений равны: \((n-m)^2 = (m-n)^2\), поэтому знак перед дробью не меняется: \[\frac{m^2-n^2}{(n-m)^2} = \frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)^2} = \frac{m+n}{m-n}.\]
е) В знаменателе — квадрат разности: \(9-6z+z^2 = z^2-6z+9 = (z-3)^2\). Значит, \[\frac{z^2-3z}{9-6z+z^2} = \frac{z(z-3)}{(z-3)^2} = \frac{z}{z-3}.\]
ж) \[\frac{x^3-x}{x-x^2} = \frac{x(x^2-1)}{x(1-x)} = \frac{x(x-1)(x+1)}{x(1-x)} = -\frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)} = -(x+1).\]
з) \[\frac{a^2x-ax^2}{x^2-ax} = \frac{ax(a-x)}{x(x-a)} = -\frac{ax(a-x)}{x(a-x)} = -a.\]
и) В числителе — квадрат разности, а квадраты противоположных выражений равны: \(p^2-2pn+n^2 = (p-n)^2 = (n-p)^2\). Значит, \[\frac{p^2-2pn+n^2}{n^2-pn} = \frac{(n-p)^2}{n(n-p)} = \frac{n-p}{n}.\]
Ответ: а) \(-\frac{y}{y+1}\); б) \(-\frac{a+2}{a}\); в) \(-\frac{3}{a}\); г) \(-\frac{5a}{b}\); д) \(\frac{m+n}{m-n}\); е) \(\frac{z}{z-3}\); ж) \(-(x+1)\); з) \(-a\); и) \(\frac{n-p}{n}\).
