Страница 16 номер 1.38, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:
а) \(\frac{ax-ay}{ax+bx-ay-by}\);
б) \(\frac{mn-pq+mq-pn}{pq+pn}\);
в) \(\frac{ab+1+a+b}{ab+a}\);
г) \(\frac{ax+ay-x^2-xy}{ab+ac-bx-cx}\);
д) \(\frac{x^2+2xy+y^2-z^2}{x+y+z}\);
е) \(\frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{a^2-b^2-c^2-2bc}\).
а) \[\frac{ax-ay}{ax+bx-ay-by} = \frac{a(x-y)}{x(a+b)-y(a+b)} = \frac{a(x-y)}{(a+b)(x-y)} = \frac{a}{a+b}.\]
б) \[\frac{mn-pq+mq-pn}{pq+pn} = \frac{m(n+q)-p(n+q)}{p(q+n)} = \frac{(n+q)(m-p)}{p(n+q)} = \frac{m-p}{p}.\]
в) \[\frac{ab+1+a+b}{ab+a} = \frac{b(a+1)+(a+1)}{a(b+1)} = \frac{(a+1)(b+1)}{a(b+1)} = \frac{a+1}{a}.\]
г) \[\frac{ax+ay-x^2-xy}{ab+ac-bx-cx} = \frac{a(x+y)-x(x+y)}{a(b+c)-x(b+c)} = \frac{(x+y)(a-x)}{(b+c)(a-x)} = \frac{x+y}{b+c}.\]
д) \[\frac{x^2+2xy+y^2-z^2}{x+y+z} = \frac{(x+y)^2-z^2}{x+y+z} = \frac{(x+y-z)(x+y+z)}{x+y+z} = x+y-z.\]
е) \(a^2-b^2-c^2-2bc = a^2-(b^2+2bc+c^2) = a^2-(b+c)^2\) — в знаменателе выделяется квадрат суммы: \[\frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{a^2-b^2-c^2-2bc} = \frac{(a-b)^2-c^2}{a^2-(b+c)^2} = \frac{(a-b-c)(a-b+c)}{(a-b-c)(a+b+c)} = \frac{a-b+c}{a+b+c}.\]
Ответ: а) \(\frac{a}{a+b}\); б) \(\frac{m-p}{p}\); в) \(\frac{a+1}{a}\); г) \(\frac{x+y}{b+c}\); д) \(x+y-z\); е) \(\frac{a-b+c}{a+b+c}\).
Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:
а) \(\frac{ax-ay}{ax+bx-ay-by}\);
б) \(\frac{mn-pq+mq-pn}{pq+pn}\);
в) \(\frac{ab+1+a+b}{ab+a}\);
г) \(\frac{ax+ay-x^2-xy}{ab+ac-bx-cx}\);
д) \(\frac{x^2+2xy+y^2-z^2}{x+y+z}\);
е) \(\frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{a^2-b^2-c^2-2bc}\).
а) В числителе вынесем за скобки общий множитель \(a\), а слагаемые знаменателя сгруппируем: \[\frac{ax-ay}{ax+bx-ay-by} = \frac{a(x-y)}{x(a+b)-y(a+b)} = \frac{a(x-y)}{(a+b)(x-y)} = \frac{a}{a+b}.\]
б) Сгруппируем слагаемые числителя, а в знаменателе вынесем за скобки общий множитель \(p\): \[\frac{mn-pq+mq-pn}{pq+pn} = \frac{m(n+q)-p(n+q)}{p(q+n)} = \frac{(n+q)(m-p)}{p(n+q)} = \frac{m-p}{p}.\]
в) Сгруппируем слагаемые числителя, а в знаменателе вынесем за скобки общий множитель \(a\): \[\frac{ab+1+a+b}{ab+a} = \frac{b(a+1)+(a+1)}{a(b+1)} = \frac{(a+1)(b+1)}{a(b+1)} = \frac{a+1}{a}.\]
г) Сгруппируем слагаемые и в числителе, и в знаменателе: \[\frac{ax+ay-x^2-xy}{ab+ac-bx-cx} = \frac{a(x+y)-x(x+y)}{a(b+c)-x(b+c)} = \frac{(x+y)(a-x)}{(b+c)(a-x)} = \frac{x+y}{b+c}.\]
д) Первые три слагаемых числителя составляют квадрат суммы, поэтому числитель раскладывается на множители по формуле разности квадратов: \[\frac{x^2+2xy+y^2-z^2}{x+y+z} = \frac{(x+y)^2-z^2}{x+y+z} = \frac{(x+y-z)(x+y+z)}{x+y+z} = x+y-z.\]
е) В числителе выделим квадрат разности, а в знаменателе — квадрат суммы: \(a^2+b^2-2ab-c^2 = (a-b)^2-c^2\) и \(a^2-b^2-c^2-2bc = a^2-(b^2+2bc+c^2) = a^2-(b+c)^2\). Каждое из этих выражений раскладывается на множители по формуле разности квадратов: \[\frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{a^2-b^2-c^2-2bc} = \frac{(a-b)^2-c^2}{a^2-(b+c)^2} = \frac{(a-b-c)(a-b+c)}{(a-b-c)(a+b+c)} = \frac{a-b+c}{a+b+c}.\]
Ответ: а) \(\frac{a}{a+b}\); б) \(\frac{m-p}{p}\); в) \(\frac{a+1}{a}\); г) \(\frac{x+y}{b+c}\); д) \(x+y-z\); е) \(\frac{a-b+c}{a+b+c}\).
