Страница 16 номер 1.37, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Сократите дробь (1.36—1.37).
а) \(\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}\);
б) \(\frac{x^3-y^3}{(x-y)^2}\);
в) \(\frac{(x+y)^2}{x^3+y^3}\);
г) \(\frac{x^3+y^3}{x^3-x^2y+xy^2}\);
д) \(\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2(x+y)^2}\);
е) \(\frac{(x-y)^2(x+y)^2}{x^4-y^4}\).
Подсказка. Могут потребоваться формулы \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) и \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\).
а) \[\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y}.\]
б) \[\frac{x^3-y^3}{(x-y)^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)^2} = \frac{x^2+xy+y^2}{x-y}.\]
в) \[\frac{(x+y)^2}{x^3+y^3} = \frac{(x+y)^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}.\]
г) \[\frac{x^3+y^3}{x^3-x^2y+xy^2} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x(x^2-xy+y^2)} = \frac{x+y}{x}.\]
д) \[\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2(x+y)^2} = \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)^2(x+y)^2} = \frac{1}{(x-y)(x+y)}.\]
е) \[\frac{(x-y)^2(x+y)^2}{x^4-y^4} = \frac{(x-y)^2(x+y)^2}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)} = \frac{(x-y)^2(x+y)^2}{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)} = \frac{(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}.\]
Ответ: а) \(\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}\); б) \(\frac{x^2+xy+y^2}{x-y}\); в) \(\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}\); г) \(\frac{x+y}{x}\); д) \(\frac{1}{(x-y)(x+y)}\); е) \(\frac{(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\).
Сократите дробь (1.36—1.37).
а) \(\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}\);
б) \(\frac{x^3-y^3}{(x-y)^2}\);
в) \(\frac{(x+y)^2}{x^3+y^3}\);
г) \(\frac{x^3+y^3}{x^3-x^2y+xy^2}\);
д) \(\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2(x+y)^2}\);
е) \(\frac{(x-y)^2(x+y)^2}{x^4-y^4}\).
Подсказка. Могут потребоваться формулы \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) и \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\).
Разложим на множители числитель и знаменатель каждой дроби, пользуясь формулами суммы и разности кубов и разности квадратов, и сократим дробь на общий множитель.
а) \[\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y}.\]
б) \[\frac{x^3-y^3}{(x-y)^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)^2} = \frac{x^2+xy+y^2}{x-y}.\]
в) \[\frac{(x+y)^2}{x^3+y^3} = \frac{(x+y)^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}.\]
г) В знаменателе вынесем за скобки общий множитель \(x\): \[\frac{x^3+y^3}{x^3-x^2y+xy^2} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x(x^2-xy+y^2)} = \frac{x+y}{x}.\]
д) \[\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2(x+y)^2} = \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)^2(x+y)^2} = \frac{1}{(x-y)(x+y)}.\]
е) \[\frac{(x-y)^2(x+y)^2}{x^4-y^4} = \frac{(x-y)^2(x+y)^2}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)} = \frac{(x-y)^2(x+y)^2}{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)} = \frac{(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}.\]
Ответ: а) \(\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}\); б) \(\frac{x^2+xy+y^2}{x-y}\); в) \(\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}\); г) \(\frac{x+y}{x}\); д) \(\frac{1}{(x-y)(x+y)}\); е) \(\frac{(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\).
