Страницы 15-16 номер 1.35, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ. а) В футляр цилиндрической формы уложены 3 теннисных мяча так, что они касаются крышек и стенок футляра (рис. 1.3). Какую часть объёма футляра занимают мячи?
(При решении пользуйтесь формулами объёма шара и объёма цилиндра: \(V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi r^3\), где \(r\) — радиус шара; \(V_{\text{цилиндра}}=\pi r^2h\), где \(r\) — радиус основания цилиндра и \(h\) — его высота.)
Указание. Выразите высоту \(h\) через радиус \(r\).
б) В коробку уложены 3 банки консервов цилиндрической формы так, что они касаются друг друга и всех стенок коробки (рис. 1.4). Какую часть объёма коробки занимают банки? Выразите ответ обыкновенной дробью, считая, что \(\pi\approx 3\).
а)
Дано:
футляр — цилиндр с радиусом основания \(r\) и высотой \(h\)
3 равных мяча — шары радиуса \(r\)
мячи касаются крышек и стенок футляра
\(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3\)
\(V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h\)
Найти: часть объёма футляра, которую занимают мячи.
Решение:
Радиус основания футляра равен радиусу мяча \(r\), длина футляра — трём диаметрам мяча: \(h = 3 \cdot 2r = 6r\).
\(\pi r^2 \cdot 6r = 6\pi r^3\) — объём футляра.
\(3 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = 4\pi r^3\) — объём трёх мячей.
Мячи занимают такую часть объёма футляра: \[\frac{4\pi r^3}{6\pi r^3} = \frac{2}{3}.\]
б)
Дано:
коробка — прямоугольный параллелепипед высотой \(h\)
3 равные банки — цилиндры с радиусом основания \(r\) и высотой \(h\)
банки касаются друг друга и всех стенок коробки
\(V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h\)
\(\pi \approx 3\)
Найти: часть объёма коробки, которую занимают банки.
Решение:
Высота коробки равна высоте банки \(h\), длина — трём диаметрам банки, то есть \(3 \cdot 2r = 6r\), а ширина — одному диаметру, то есть \(2r\).
\(6r \cdot 2r \cdot h = 12r^2h\) — объём коробки.
\(3 \cdot \pi r^2 h = 3\pi r^2 h\) — объём трёх банок.
Банки занимают такую часть объёма коробки: \[\frac{3\pi r^2 h}{12r^2h} = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3}{4}.\]
Ответ: а) мячи занимают \(\frac{2}{3}\) объёма футляра; б) банки занимают примерно \(\frac{3}{4}\) объёма коробки.
ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ. а) В футляр цилиндрической формы уложены 3 теннисных мяча так, что они касаются крышек и стенок футляра (рис. 1.3). Какую часть объёма футляра занимают мячи?
(При решении пользуйтесь формулами объёма шара и объёма цилиндра: \(V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi r^3\), где \(r\) — радиус шара; \(V_{\text{цилиндра}}=\pi r^2h\), где \(r\) — радиус основания цилиндра и \(h\) — его высота.)
Указание. Выразите высоту \(h\) через радиус \(r\).
б) В коробку уложены 3 банки консервов цилиндрической формы так, что они касаются друг друга и всех стенок коробки (рис. 1.4). Какую часть объёма коробки занимают банки? Выразите ответ обыкновенной дробью, считая, что \(\pi\approx 3\).
а)
Дано:
футляр — цилиндр с радиусом основания \(r\) и высотой \(h\)
3 равных мяча — шары радиуса \(r\)
мячи касаются крышек и стенок футляра
\(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3\)
\(V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h\)
Найти: часть объёма футляра, которую занимают мячи.
Решение:
Мячи касаются стенок футляра, поэтому радиус основания футляра равен радиусу мяча \(r\). Три мяча лежат вплотную друг к другу и касаются крышек, поэтому длина футляра равна трём диаметрам мяча: \(h = 3 \cdot 2r = 6r\).
\(\pi r^2 \cdot 6r = 6\pi r^3\) — объём футляра.
\(3 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = 4\pi r^3\) — объём трёх мячей.
Мячи занимают такую часть объёма футляра: \[\frac{4\pi r^3}{6\pi r^3} = \frac{2}{3}.\]
б)
Дано:
коробка — прямоугольный параллелепипед высотой \(h\)
3 равные банки — цилиндры с радиусом основания \(r\) и высотой \(h\)
банки касаются друг друга и всех стенок коробки
\(V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h\)
\(\pi \approx 3\)
Найти: часть объёма коробки, которую занимают банки.
Решение:
Банки касаются дна и крышки коробки, поэтому высота коробки равна высоте банки \(h\). Три банки стоят в ряд вплотную друг к другу и касаются боковых стенок коробки, поэтому длина коробки равна трём диаметрам банки, то есть \(3 \cdot 2r = 6r\), а ширина коробки равна одному диаметру, то есть \(2r\).
\(6r \cdot 2r \cdot h = 12r^2h\) — объём коробки.
\(3 \cdot \pi r^2 h = 3\pi r^2 h\) — объём трёх банок.
Банки занимают такую часть объёма коробки: \[\frac{3\pi r^2 h}{12r^2h} = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3}{4}.\]
Ответ: а) мячи занимают \(\frac{2}{3}\) объёма футляра; б) банки занимают примерно \(\frac{3}{4}\) объёма коробки.
